宝塚市の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は宝塚市の雲雀丘学園高校の過去問です。
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４ ２次関数と図形
２次関数と図形の問題です。円の接線や三角関数など図形の性質についても問う複合的な問題になっています。
（１）難易度：★☆☆☆☆
点Ａ（４,１２）は、関数ｙ＝ａｘ²上にあるので、ｘ＝４、ｙ＝１２を代入して、
１２＝１６ａ これを解いて、ａ＝ \frac{３}{４}
（２）難易度：★★☆☆☆
円Ｐの半径をｒ（ｒ＞０）とおくと、円Ｐはｘ軸とｙ軸に接しており、点Ｐのｘ座標とｙ座標がともに正であることから、点Ｐの座標は（ｒ,ｒ）と表せます。
また、点Ｐは関数ｙ＝ \frac{３}{４}ｘ²上にあることから、ｘ＝ｒ、ｙ＝ｒを代入すると、
ｒ＝ \frac{３}{４}ｒ²
\frac{３}{４}ｒ² －ｒ＝０
\frac{３}{４}ｒ（ｒ－ \frac{４}{３} ）＝０
ｒ＞０なので、ｒ＝ \frac{４}{３}
よって、点Ｐの座標は、（ \frac{４}{３} , \frac{４}{３}）
（３）難易度：★★★☆☆
直線ＯＢ、直線ＯＣ、直線ＢＣと円との接点をそれぞれ点Ｄ、点Ｅ、点Ｆとおきます。
すると、四角形ＯＤＥＰは正方形となるので、その一辺は円の半径と等しく、
ＯＤ＝ＯＥ＝ \frac{４}{３} となります。
ここで、円の外の１点から円に引いた２本の接線において、その点から２つの接点までの距離は等しいので、
ＢＦ＝ＢＤ＝ＯＢ－ＯＤ＝４－ \frac{４}{３} ＝ \frac{８}{３}
ＣＦ＝ＣＥ＝ＯＣ－ＯＥ＝ｃ－ \frac{４}{３}
となり、ＢＣ＝ＢＦ＋ＣＦ＝ｃ＋ \frac{４}{３}
ここで、直角三角形ＯＢＣにおいて三平方の定理をつかうと、
ＢＣ²＝ＯＢ²＋ＯＣ² となるから、
（ｃ＋ \frac{４}{３}）²＝ｃ²＋１６
ｃ²＋ \frac{８}{３}ｃ＋ \frac{１６}{９} ＝ｃ²＋１６
\frac{８}{３}ｃ＝ \frac{１２８}{９}
よって、ｃ＝ \frac{１６}{３}
５ 平面図形
平面図形の問題です。相似の証明とそれを使った角度計算の問題で、標準的な難易度です。
（１）難易度：★★☆☆☆
【ア】 ＡＦ＝ＡＢ－ＢＦ＝１－（４－２\scriptsize\sqrt{３}）＝ ２\scriptsize\sqrt{３}ー３
【イ】 直角三角形ＡＢＥにおいて、三平方の定理を用いて、
ＡＢ²＋ＡＥ²＝ＢＥ² より、
ＡＥ²＝ＢＥ²－ＡＢ²＝４－１＝３ だから、ＡＥ＝\scriptsize\sqrt{３}
ＤＥ＝ＡＤ－ＡＥ＝２－\scriptsize\sqrt{３}
【ウ】 ＡＦ：ＤＥ＝（２\scriptsize\sqrt{３}ー３）：（２－\scriptsize\sqrt{３}）＝\scriptsize\sqrt{３}：１
【エ】 ＡＦ：ＤＥ＝ＡＥ：ＤＣ＝\scriptsize\sqrt{３}：１であり、
∠ＡＥＦ＝∠ＣＤＥ＝９０°なので、
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、△ＡＦＥ∽△ＤＥＣ
（２）難易度：★★☆☆☆
△ＡＢＥにおいて、ＡＢ：ＢＥ：ＡＥ＝１：２：\scriptsize\sqrt{３}だから、∠ＡＥＢ＝３０° となります。
一方、 △ＡＦＥ∽△ＤＥＣ より、
∠ＡＥＦ＝∠ＤＣＥ＝∠ｘ、∠ＡＦＥ＝∠ＤＥＣ＝∠ｙとおけます。
△ＡＦＥにおいて、∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＥ＋∠ＥＡＦ＝１８０°より、
∠ｘ＋∠ｙ＝９０°
ＡＤ//ＢＣより、錯角は等しいから、∠ＢＣＥ＝∠ＤＥＣ＝∠ｙ
△ＢＣＥはＢＣ＝ＢＥの二等辺三角形だから、∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ＝∠ｙ
∠ＦＥＢ＝１８０°－（∠ＡＥＦ＋∠ＢＥＣ＋∠ＤＥＣ）
＝１８０°－（∠ｘ＋∠ｙ＋∠ｙ）
＝１８０°－（９０°＋∠ｙ）
＝９０°－∠ｙ
＝∠ｘ
∠ＦＥＢ＝∠ＡＥＦなので、直線ＥＦは∠ＡＥＢの二等分線となります。
角の二等分線の性質を使うこともできます。
ＡＦ：ＢＦ＝（２\scriptsize\sqrt{３}ー３）： （４－２\scriptsize\sqrt{３}）
＝\scriptsize\sqrt{３}（２－\scriptsize\sqrt{３}）：２（２－\scriptsize\sqrt{３}）
＝\scriptsize\sqrt{３}：２
ＥＡ：ＥＢ＝ＡＦ：ＢＦなので、直線ＥＦは∠ＡＥＢの二等分線となります。
よって、∠ＦＥＢ＝∠ＡＥＢ÷２＝１５°
６ 立体図形
立体図形の問題です。相似や三平方の定理などいろいろな考え方を使いますが、特にひねった問題はなく標準的な難易度です。
（１）難易度：★★☆☆☆
△ＢＤＥの情報を集めましょう。まず辺の長さを三平方の定理を駆使して求めていきます。
△ＡＤＥにおいて、ＥＤ²＝ＡＤ²＋ＡＥ²＝９＋９＝１８より、ＥＤ＝３\scriptsize\sqrt{２}
△ＡＢＤにおいて、ＢＤ²＝ＡＢ²＋ＡＤ²＝９＋３６＝４５より、ＢＤ＝３\scriptsize\sqrt{５}
△ＡＢＥにおいて、ＢＥ²＝ＡＢ²＋ＡＥ²＝３６＋９＝４５より、ＢＥ＝３\scriptsize\sqrt{５}
よって、△ＢＤＥはＢＤ＝ＢＥの二等辺三角形です。
点ＢからＤＥに下した垂線の足（垂線と直線の交点）を点Ｊとおくと、点Ｊは辺ＤＥの中点であり、
ＤＪ＝ \frac{３\sqrt{２}}{２} となります。
ここで高さＢＪの長さを出すために△ＢＤＪにおいて三平方の定理をつかうと、ＢＤ²＝ＢＪ²＋ＤＪ²より、
ＢＪ²＝ＢＤ²－ＤＪ²
＝（３\scriptsize\sqrt{５}）²－（\frac{３\sqrt{２}}{２}）²
＝４５－ \frac{９}{２}
＝ \frac{８１}{２}
よって、ＢＪ＝ \frac{９\sqrt{２}}{２}
△ＢＤＥ＝ ３\scriptsize\sqrt{２} × \frac{９\sqrt{２}}{２} ÷２
＝ \frac{２７}{２} （㎠）
（２）難易度：★★☆☆☆
点Ａから三角形ＢＤＥのある平面におろした垂線の足を点Ｋとおき、線分ＡＫの長さを求めることを目指しましょう。
まず、三角形ＡＤＥを底面、線分ＢＡを高さとして四面体ＡＢＤＥの体積を計算します。
四面体ＡＢＤＥ＝（３×３÷２）×６÷３＝９（㎤）
つぎに、三角形ＢＤＥを底面、線分ＡＫを高さとして四面体ＡＢＤＥの体積を計算すると、
四面体ＡＢＤＥ＝ \frac{２７}{２} ×ＡＫ÷３＝９
ゆえに、ＡＫ＝２（㎝）
（３）難易度：★★☆☆☆
辺ＤＣの中点をＮとおき、線分ＡＮと線分ＤＢの交点をＬとおきます。
すると、長方形ＡＥＭＮと三角形ＢＤＥは下図のように線分ＥＬで交わることが分かります。
また、長方形ＡＥＭＮの対角線ＡＭと線分ＥＬの交点が問題の点Ｉであることが分かりますね。
ここで、
ＤＮ//ＡＢより、△ＬＤＮ∽△ＬＢＡ、
ＡＬ//ＥＭより、△ＩＡＬ∽△ＩＭＥ（証明は省略します）となります。
△ＬＤＮ∽△ＬＢＡより、ＬＮ：ＬＡ＝ ＤＮ：ＢＡ＝１：２、
△ＩＡＬ∽△ＩＭＥより、ＩＡ：ＩＭ＝ ＡＬ：ＭＥ＝ＡＬ：（ＡＬ＋ＬＮ）＝２：３
（４）難易度：★★☆☆☆
求める立体は下図のように、三角柱ＡＤＮ－ＥＨＭから三角すいＥーＡＤＬを切り取った立体であることが分かります。それぞれの体積を求めて、差を求めればよいですね。
（三角柱ＡＤＮ－ＥＨＭ）＝△ＡＤＮ×ＡＥ＝（３×３÷２）×３＝\frac{２７}{２}（㎤）
（三角すいＥ－ＡＤＬ）＝△ＡＤＬ×ＡＥ÷３＝（△ＡＤＮ× \frac{２}{３}）×ＡＥ÷３
＝３×３÷３＝３（㎤）
よって、求める立体の体積は、
（三角柱ＡＤＮ－ＥＨＭ）－（三角すいＥ－ＡＤＬ）＝ \frac{２７}{２}－３＝ \frac{２１}{２}（㎤）