【雲雀丘学園高校】入試解説2022年度 数学

宝塚市の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は宝塚市の雲雀丘学園高校の過去問です。

 

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4 2次関数と図形

西宮の家庭教師 かきた
西宮の家庭教師 かきた

2次関数と図形の問題です。円の接線や三角関数など図形の性質についても問う複合的な問題になっています。

(1)難易度:★☆☆☆☆

点A(4,12)は、関数y=ax²上にあるので、x=4、y=12を代入して、

 12=16a これを解いて、a= \frac{3}{4}

(2)難易度:★★☆☆☆

円Pの半径をr(r>0)とおくと、円Pはx軸とy軸に接しており、点Pのx座標とy座標がともに正であることから、点Pの座標は(r,r)と表せます。

また、点Pは関数y= \frac{3}{4}x²上にあることから、x=r、y=rを代入すると、

 r= \frac{3}{4}r²
 \frac{3}{4}r² -r=0
 \frac{3}{4}r(r- \frac{4}{3} )=0

 r>0なので、r= \frac{4}{3}

よって、点Pの座標は、( \frac{4}{3} , \frac{4}{3}

(3)難易度:★★★☆☆

直線OB、直線OC、直線BCと円との接点をそれぞれ点D、点E、点Fとおきます。

すると、四角形ODEPは正方形となるので、その一辺は円の半径と等しく、

OD=OE= \frac{4}{3} となります。

ここで、円の外の1点から円に引いた2本の接線において、その点から2つの接点までの距離は等しいので、

BF=BD=OB-OD=4- \frac{4}{3}\frac{8}{3}

CF=CE=OC-OE=c- \frac{4}{3}

となり、BC=BF+CF=c+ \frac{4}{3}

ここで、直角三角形OBCにおいて三平方の定理をつかうと、

 BC²=OB²+OC² となるから、

(c+ \frac{4}{3})²=c²+16

 c²+ \frac{8}{3}c+ \frac{16}{9} =c²+16

 \frac{8}{3}c= \frac{128}{9}

 よって、c= \frac{16}{3}

 

5 平面図形

西宮の家庭教師 かきた
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平面図形の問題です。相似の証明とそれを使った角度計算の問題で、標準的な難易度です。

(1)難易度:★★☆☆☆

【ア】 AF=AB-BF=1-(4-2\scriptsize\sqrt{3})= 2\scriptsize\sqrt{3}ー3

【イ】 直角三角形ABEにおいて、三平方の定理を用いて、

 AB²+AE²=BE² より、

 AE²=BE²-AB²=4-1=3 だから、AE=\scriptsize\sqrt{3}

 DE=AD-AE=2-\scriptsize\sqrt{3}

【ウ】 AF:DE=(2\scriptsize\sqrt{3}ー3):(2-\scriptsize\sqrt{3})=\scriptsize\sqrt{3}:1

【エ】 AF:DE=AE:DC=\scriptsize\sqrt{3}:1であり、

 ∠AEF=∠CDE=90°なので、

 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、△AFE∽△DEC

(2)難易度:★★☆☆☆

△ABEにおいて、AB:BE:AE=1:2:\scriptsize\sqrt{3}だから、∠AEB=30° となります。

一方、 △AFE∽△DEC より、
 ∠AEF=∠DCE=∠x、∠AFE=∠DEC=∠yとおけます。

△AFEにおいて、∠AEF+∠AFE+∠EAF=180°より、
 ∠x+∠y=90°

AD//BCより、錯角は等しいから、∠BCE=∠DEC=∠y

△BCEはBC=BEの二等辺三角形だから、∠BEC=∠BCE=∠y

∠FEB=180°-(∠AEF+∠BEC+∠DEC)
    =180°-(∠x+∠y+∠y)
    =180°-(90°+∠y)
    =90°-∠y
    =∠x

∠FEB=∠AEFなので、直線EFは∠AEBの二等分線となります。

西宮の家庭教師 かきた
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角の二等分線の性質を使うこともできます。

AF:BF=(2\scriptsize\sqrt{3}ー3): (4-2\scriptsize\sqrt{3}
     =\scriptsize\sqrt{3}(2-\scriptsize\sqrt{3}):2(2-\scriptsize\sqrt{3}
     =\scriptsize\sqrt{3}:2

EA:EB=AF:BFなので、直線EFは∠AEBの二等分線となります。

よって、∠FEB=∠AEB÷2=15°

 

6 立体図形

西宮の家庭教師 かきた
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立体図形の問題です。相似や三平方の定理などいろいろな考え方を使いますが、特にひねった問題はなく標準的な難易度です。

(1)難易度:★★☆☆☆

△BDEの情報を集めましょう。まず辺の長さを三平方の定理を駆使して求めていきます。

 △ADEにおいて、ED²=AD²+AE²=9+9=18より、ED=3\scriptsize\sqrt{2}

 △ABDにおいて、BD²=AB²+AD²=9+36=45より、BD=3\scriptsize\sqrt{5}

 △ABEにおいて、BE²=AB²+AE²=36+9=45より、BE=3\scriptsize\sqrt{5}

よって、△BDEはBD=BEの二等辺三角形です。

点BからDEに下した垂線の足(垂線と直線の交点)を点Jとおくと、点Jは辺DEの中点であり、

DJ= \frac{3\sqrt{2}}{2} となります。

ここで高さBJの長さを出すために△BDJにおいて三平方の定理をつかうと、BD²=BJ²+DJ²より、

 BJ²=BD²-DJ²
    =(3\scriptsize\sqrt{5})²-(\frac{3\sqrt{2}}{2})²
    =45- \frac{9}{2}
    = \frac{81}{2}

よって、BJ= \frac{9\sqrt{2}}{2}

△BDE= 3\scriptsize\sqrt{2} × \frac{9\sqrt{2}}{2} ÷2
    = \frac{27}{2} (㎠)

(2)難易度:★★☆☆☆

点Aから三角形BDEのある平面におろした垂線の足を点Kとおき、線分AKの長さを求めることを目指しましょう。

まず、三角形ADEを底面、線分BAを高さとして四面体ABDEの体積を計算します。

四面体ABDE=(3×3÷2)×6÷3=9(㎤)

つぎに、三角形BDEを底面、線分AKを高さとして四面体ABDEの体積を計算すると、

四面体ABDE= \frac{27}{2} ×AK÷3=9

ゆえに、AK=(㎝)

(3)難易度:★★☆☆☆

辺DCの中点をNとおき、線分ANと線分DBの交点をLとおきます。

すると、長方形AEMNと三角形BDEは下図のように線分ELで交わることが分かります。

また、長方形AEMNの対角線AMと線分ELの交点が問題の点Iであることが分かりますね。

ここで、

DN//ABより、△LDN∽△LBA、

AL//EMより、△IAL∽△IME(証明は省略します)となります。

△LDN∽△LBAより、LN:LA= DN:BA=1:2、

△IAL∽△IMEより、IA:IM= AL:ME=AL:(AL+LN)=2:3

(4)難易度:★★☆☆☆

求める立体は下図のように、三角柱ADN-EHMから三角すいEーADLを切り取った立体であることが分かります。それぞれの体積を求めて、差を求めればよいですね。

(三角柱ADN-EHM)=△ADN×AE=(3×3÷2)×3=\frac{27}{2}(㎤)

(三角すいE-ADL)=△ADL×AE÷3=(△ADN× \frac{2}{3})×AE÷3
           =3×3÷3=3(㎤)

よって、求める立体の体積は、

(三角柱ADN-EHM)-(三角すいE-ADL)= \frac{27}{2}-3= \frac{21}{2}(㎤)

 

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