西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は須磨学園中学校の過去問です。
もくじ
１ 計算問題
解説は省略します。
２ 小問集合
解説は省略します。
３ 図形が通ったあとの面積
「図形の通ったあとの面積」の問題です。（２）（３）は、半径が分からなくても半径×半径を出すことで円の面積が計算できるパターンの問題です。このパターンは頻出なので、解き方があいまいな人はしっかり練習しておきましょう。
（１）難易度：★☆☆☆☆
斜線部分は平行四辺形で、底辺２０ｃｍ、高さはＢＯ（円ロボットの半径）なので、その面積は、
２０×１０＝２００［㎠］
（２）難易度：★★★☆☆
吸引口ＡＢがＯを中心に回転すると、その通ったあとは下図のようなドーナツ型（大きな円から小さな円が取り除かれた形）となります。
大きな円の半径は１０ｃｍ。
小さな円の半径は点ＯからＡＢに下した垂線の長さとなります。ただ、この半径は長さが分かりませんので、仮にＲとします。
ここで、直角二等辺三角形ＡＢＯの面積は、
三角形ＡＢＯ＝Ｒ×（Ｒ×２）÷２＝Ｒ×Ｒ
三角形ＡＢＯ＝ＡＯ×ＢＯ÷２＝５０
と二通りにあらわされることから、Ｒ×Ｒ＝５０だと分かります。
よって、吸引口ＡＢが通ったあとの面積は、
１０×１０×３.１４－Ｒ×Ｒ×３.１４
＝（１００－５０）×３.１４
＝１５７［㎠］
（３）難易度：★★★☆☆
点Ｃを中心に吸引口ＡＢをＡ’Ｂ’まで回転させると、その通ったあとは、下図のようになります。
通ったあとの面積は、
（三角形ＡＢＣ＋おうぎ形ＡＡ’Ｃ）－（三角形Ａ’Ｂ’Ｃ＋おうぎ形ＢＢ’Ｃ）
＝ おうぎ形ＡＡ’Ｃ－おうぎ形ＢＢ’Ｃ
＝ＡＣ×ＡＣ×３.１４× \frac{９０}{３６０} －ＢＣ×ＢＣ×３.１４× \frac{９０}{３６０}
＝ \frac{（ＡＣ×ＡＣ－ＢＣ×ＢＣ）×３.１４}{４}
（ＡＣ＝ＡＯ×２＝２０、ＢＣ＝Ｒ×２なので、）
\frac{｛２０×２０－（Ｒ×２）×（Ｒ×２）｝×３.１４}{４}
＝ \frac{（４００－Ｒ×Ｒ×４）×３.１４}{４}
＝ \frac{２００×３.１４}{４}
＝１５７［㎠］
４ 倍数と規則性
「倍数と規則性」についての問題です。（４）を素早く解くには「平均を使ってあたりをつける」というテクニックが使えます。少し高レベルなワザですが、余裕のある人はマスターしましょう。
（１）難易度：★☆☆☆☆
先生以外の４人全員が折り鶴を折るのは、日付が２、３、４、５の公倍数となる日です。
初めての日は、最小公倍数を考えればよいから、６０日目となります。
（２）難易度：★★★☆☆
（２）（３）は設問の文章がやや不適切ですね。
「折り紙を折り始めて 〇〇日目に」を「折り紙を折り始めて〇〇日目までに」と読み替えて解きます。
先生は誰も生徒が折らない日に折るので、その日数を求めるには、全体の１２０日から生徒が少なくとも１人折った日を引けばよいことになります。
まず、１～１２０の中で、２、３、４、５それぞれの倍数を数えていきます。
２の倍数：１２０÷２＝６０［日］
３の倍数：１２０÷３＝４０［日］
４の倍数：１２０÷４＝３０［日］
５の倍数：１２０÷５＝２４［日］
ただし、２人以上が重複して折る日もあります。べん図を使って考えてみましょう。
こうして見ると、４の倍数は２の倍数に含まれるので、この問題では考えなくてよいことが分かります。
円の重なる部分、つまり６の倍数、１０の倍数、１５の倍数および３０の倍数について数えていくと、
６の倍数：１２０÷６＝２０
１０の倍数：１２０÷１０＝１２
１５の倍数：１２０÷１５＝８
３０の倍数：１２０÷３０＝４
となります。２、３、５いずれかの倍数である数の個数を計算すると、
｛（２の倍数）＋（３の倍数）＋（５の倍数）｝ー｛（６の倍数）＋（１０の倍数）＋（１５の倍数）｝＋（３０の倍数）
＝６０＋４０＋２４－（２０＋１２＋８）＋４＝８８
となりますから、２、３、５いずれの倍数でもない数は、
１２０－８８＝３２
となり、先生が折り紙を折った日数は３２日であることが分かります。
上の式で、なぜ「３０の倍数」の数を足すのか考えてみましょう。
まず、 ２の倍数、３の倍数、５の倍数の数を足します。このとき数える回数をべん図にあらわすと下図のようになります。
真ん中の部分は３回数えていることがわかります。
次に、６の倍数、１０の倍数、１５の倍数の数を足すと、数える回数は下図のようになります。
ここでも、真ん中の部分は３回数えられていますね。
重複をなくすため、上記２つの差をとると下図のようになります。真ん中の部分は③－③で差し引きゼロとなり、一度も数えられていない状態になってしまいます。
だから、２、３、５いずれかの倍数の数をまんべんなく１回ずつ数えるには、最後に真ん中の「３０の倍数」の数を足す必要があるんですね。
（３）難易度：★★★☆☆
まず、１～６０日目までに、Ａさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさん、それぞれが折り紙を折った日数×３で折った折り紙の数を計算していきます。
Ａさん：（６０÷２）×３＝９０
Ｂさん：（６０÷３）×３＝６０
Ｃさん：（６０÷４）×３＝４５
Ｄさん：（６０÷５）×３＝３６
次に先生について考えます。（２）より、先生は１２０日目までに３２日折り紙を折ります。また、この５人で折り紙を折るサイクルは、２、３、４、５の最小公倍数である６０日を１サイクルとして回っています。
以上のことから、先生は６０日目までに３２日の半分、１６日折り鶴を折り、１日あたり５枚折ることから計８０羽折ることが分かります。
よって、 ６０日目までに、５人全員で折った鶴の合計は、
９０＋６０＋４５＋３６＋８０＝ ３１１［羽］
（４）難易度：★★★★☆
このような問題は、〇日くらいだろうという「あたり」をつけることで素早く解けます。
さて（３）より、この５人は１サイクル６０日ごとに３１１羽折るので、平均すると１日、\frac{３１１}{６０}羽をみんなで折ることになります。
毎日同じように \frac{３１１}{６０}羽ずつ折ると仮定すると、１０００羽折るのにかかる日数は、
１０００÷ \frac{３１１}{６０} ＝ \frac{６００００}{３１１} ＝１９２\frac{２８８}{３１１} ［日］
で、約１９３日と計算できます。もちろん、これは平均をつかった概算値なのでですが、実際に１０００羽を超える日も、この付近にあるはずです（このような考え方を「あたりをつける」といいます）。
そこで、１９３日目までに実際には５人で何羽折っているか、正確な数を計算してみましょう。
Ａ：１９３÷２＝９６あまり１ ９６×３＝２８８［羽］
Ｂ：１９３÷３＝６４あまり１ ６４×３＝１９２［羽］
Ｃ：１９３÷４＝４８あまり１ ４８×３＝１４４［羽］
Ｄ：１９３÷５＝３８あまり３ ３８×３＝１１４［羽］
先生は、１８０日で６０日間を３サイクル行って８０×３＝２４０羽折っています。その後、２、３、４、５いずれの倍数日でもない１８１日目、１８７日目、１９１日目、１９３日目に５羽ずつ折っていますから、１９３日目までに２６０羽折っていることになります。
よって、１９３日目までに５人が折っている折り鶴の数は、
２８８＋１９２＋１４４＋１１４＋２６０＝９９８［羽］
となります。かなり１０００羽に近いですね。あと２羽なので、１日進めてみましょう。
１９４日目は、２の倍数日なので、Ａさんが３羽折って、累計１００１羽。
よって、１０００羽を超えるのは１９４日目です。
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