西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は須磨学園中学校の過去問です。
もくじ
１ 計算問題
解説は省略します。
２ 小問集合
解説は省略します。
３ 流水算とダイヤグラム
流水算の問題です。ひねりがほとんどない練習問題レベルです。須磨学園中の入試問題としては、かなり簡単な問題で、合格のためには全問正解が必須でしょう。「のくせり表」や「ダイヤグラム」など流水算や旅人算を解くのに必須のテクニックを練習できる良問です。
（１）難易度：★☆☆☆☆
流水算では、まず「のくせり表」をつくることを考えます。のぼり（の）、くだり（く）、静水時の速さ（せ）、流速（り）についてまとめたものです。
静水時（せ） ＋ 流速（り） ＝ くだり（く）
静水時（せ） － 流速（り） ＝ のぼり（の）
｛ くだり（く）＋ のぼり（の）｝÷ ２ ＝ 静水時（せ）
｛ くだり（く）－ のぼり（の）｝÷ ２ ＝ 流速（り）
の関係があり、「の」「く」「せ」「り」の４つの速さのうち、どれか２つが分かると全部分かるようになっています。
太郎、次郎について「のくせり表」をつくると以下のようになります。
| ［ｍ／秒］ | 太郎 | 次郎 |
| のぼり（の） | １ | ０.５ |
| くだり（く） | ２ | １.５ |
| 静水時（せ） | １.５ | １ |
| 流速（り） | ０.５ | ０.５ |
「のくせり表」から、太郎はのぼり秒速１ｍ、くだり秒速２ｍだと分かります。同じ距離を往復すると、かかる時間は速さの逆比となりますから
（のぼりの時間）：（くだりの時間）＝２：１
太郎はＡＢ間を７分３０秒（４５０秒）で往復しますから、のぼりにかかる時間は、
４５０ × \frac{２}{２＋１} ＝ ３００［秒］
よって、ＡＢ間の距離は、
１×３００＝３００［ｍ］
これより、太郎と次郎について、のぼり、くだりにかかる時間は以下のように計算できます。
| ［秒］ | 太郎 | 次郎 |
| のぼり（の） | ３００ | ６００ |
| くだり（く） | １５０ | ２００ |
この表を使って、（２）～（４）を解くのに便利なダイヤグラムをかくことができます。
（２）難易度：★☆☆☆☆
【解法１】まずは、ダイヤグラムを使わない方法で解いてみます。
太郎の方が次郎よりも速いので、下図のように太郎君が一度Ｂに到着して、Ａに向かって引き返しているときに２人は出会うことになります。
太郎が下りにかかる時間は１５０秒なので、太郎がＢ地点に着いた時点で、次郎は１.５×１５０＝２２５ｍ進んでいます。このとき、２人の間のきょりは７５ｍです。
そこから太郎は秒速１ｍ、次郎は秒速１.５ｍで向かい合って進むので、
７５÷（１＋１.５）＝３０［秒］
より、太郎がＢを出発してから３０秒後、すなわちスタート時点から１８０秒後に２人は初めてすれちがいます。
Ａからの距離は次郎がくだりで１８０秒間で進む距離なので、
１.５×１８０＝２７０［ｍ］
【解法２】この問題をダイヤグラムを使って解いてみます。
ダイヤグラムでは、相似な三角形を使って解きます。下図の２つの三角形は相似で、底辺が「時間」、高さが「距離」にあたります。
この２つの三角形の相似比は、底辺の比より、
（下の三角形）：（上の三角形）＝９：１
相似な三角形では、辺だけでなく、高さの比も相似比と等しくなります。よって、高さの比も９：１となり、出会った場所はＡＢ間の３００ｍの距離を９：１に分ける地点です。よって、Ａからの距離は、
３００ × \frac{９}{９＋１} ＝２７０［ｍ］
こちらの方が計算量が少なく、簡単ですよね。２回目、３回目に出会う時間も、ダイヤグラムさえかけていれば簡単に求められます。
（３）難易度：★★☆☆☆
２回目に出会う点を頂点とした２つの相似な三角形を考えます。
この２つの三角形の相似比は、底辺の比より、
（下の三角形）：（上の三角形）＝７：８
なので、Ａからの距離は、
３００ × \frac{７}{８＋７} ＝１４０［ｍ］
（４）難易度：★★☆☆☆
同じように、３回目に出会うときを考えます。
この２つの三角形の相似比は、底辺の比より、
（下の三角形）：（上の三角形）＝１：４
なので、Ａからの距離は、
３００ × \frac{１}{１＋４} ＝６０［ｍ］
（５）難易度：★☆☆☆☆
次郎が休憩なしで２往復するのに１６００秒かかります。よって、次郎が途中で□秒休んだとすると、（１６００＋□）秒で２往復したことになります。ただし、休んだ時間は５分（３００秒）を過ぎない範囲なので、０＜□≦３００です。
つまり次郎君が２往復した時間を休憩込みで考えると、１６００＜１６００＋□≦１９００となり、１６００秒より多く、１９００秒以下であるとわかります。
太郎は１往復するのに４５０秒かかりますから、
１往復 → ４５０秒
２往復 → ９００秒
３往復 → １３５０秒
４往復 → １８００秒
５往復 → ２２５０秒 …
太郎と次郎が同時にＡ地点に到着したことを考えると、その時太郎君と次郎君がかけた時間はともに１８００秒だと分かります。
よって、１６００＋ □ ＝ １８００
となり、□＝２００（秒）。つまり、次郎が休んだ時間は３分２０秒となります。
４ 水そうと水の体積
水そうと水の体積の問題です。（３）は高さの比から相似比、相似比から体積比を求める問題ですね。最近の須磨中入試ではよく出題されるタイプの問題ですので、解いたことがない人は練習しておきましょう。
（１）難易度：★☆☆☆☆
図１で水面がＣにあるということは、水の体積は長方形ＣＤＥＦを底面とする四角柱の体積にあたります。
八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨの面積は、１×３＋２×１＝５ｃｍ²
長方形ＣＤＥＦの面積は、２×１＝２ｃｍ²
長方形ＣＤＥＦと八角形ＡＢＣＤＥＦＧＨの面積比は「水の体積」と「Ｐの容積」の比に等しくなります。さらに、水を入れ面ＡＢＣＤＥＦＧＨを下にしたときの水の高さとＡＩの比とも等しいから、水の高さは、
ＡＩ× \frac{２}{５} ＝０.４［ｃｍ］
（２）難易度：★★☆☆☆
下図のように点ＣからＡＨに引いた垂線とＡＨとの交点をＫ、水面とＡＨの交わる点をＪとします。
（１）ではＣＦに水面があったので、（２）で追加した水は底面を四角形ＣＧＨＪとする四角柱にあたります。四角形ＣＧＨＪの面積を出すためにＫＪの長さを出すことを考えます。
まず、△ＥＦＧと△ＣＫＪが相似であることについて確認してみましょう。
床と水面は平行になることから、ＥＧ//ＣＪ
∠Ｅ＝∠Ｄ＝９０°より、ＥＦ//ＣＫなので、∠ＦＥＧ＝∠ＫＣＪ
また、∠ＥＦＧ＝∠ＣＫＪ＝９０°なので、２つの角が等しいから、△ＥＦＧと△ＣＫＪは相似です。
よって、ＣＫ：ＫＪ＝ＥＦ：ＦＧ＝２：１であり、ＫＪ＝ＣＫ × \frac{１}{２} ＝０.５［ｃｍ］
よって、台形ＣＧＨＪを底面とする四角柱の体積は、
（２＋１.５）×１÷２×１＝１.７５［ｃｍ³］
なので、これが追加した水の体積にあたります。
（３）難易度：★★☆☆☆
まず、入っている水の体積は、（２）より、
２×１×１＋１.７５＝３.７５［ｃｍ³］
右図のように、水面でＱの四角すいを分けると水の入っていない部分も四角すいとなります。
このとき、Ｑの四角すいと水の入っていない部分の四角すいは相似で、その相似比は高さの比から３：２です。
そしてその体積比は、
（３×３×３）：（２×２×２）＝２７：８
したがって、Ｑの容積と入っている水の体積比は、
２７：（２７ｰ８）＝２７：１９
Ｑの容積は、
３.７５× \frac{２７}{１９} ＝ \frac{４０５}{７６}
Ｑの高さを□ｃｍとすると、
９×□÷３＝ \frac{４０５}{７６} だから、□＝ \frac{１３５}{７６}ｃｍ
相似は平面図形どうしだけでなく、立体図形どうしでも成り立つ関係です。
相似比がＡ：Ｂのとき、
面積比はＡ×Ａ：Ｂ×Ｂなのに対し、
体積比はＡ×Ａ×Ａ：Ｂ×Ｂ×Ｂとなります。
５ 数列の規則性
数列の規則性についての問題です。偶数列と奇数列で異なる規則性をもっているので、いかに条件整理して使いこなせるか、が問われています。数自体はそこまで多くないので、全部書いてやるのも一つの手ではあると思います。
（１）難易度：★☆☆☆☆
図を見れば明らかなように、奇数列では数字は下向きに増えていき、偶数列では上向きに増えていきます。そしてその性質から、同じ列どうしで横に隣り合う２マスの数を足すと同じ数となります。
横に隣り合う数を足して４９となるのは４列目と５列目で、左側の数字が一番小さいのは、６行目の１９と３０の組み合わせです。
（２）難易度：★★☆☆☆
縦１列６マスですから、５の倍数が１列に２個あるとき、その両端つまり横１行目と６行目にあることがわかります。なので、１列目に５の倍数が来るものを選べばいいことになります。
まず奇数列の１行目について見ていくと、
１列目は１、３列目は１３、５列目は２５、７列目は３７、９列目は４９…
と１２ずつ増えていきます。１０列右にずれると６０増えます。よって５列目で初めて５の倍数２５が現れ、その後は１０列ごとに５の倍数が現れます。
よって、４０列目までで条件に合うのは、５、１５、２５，３５列目です。
偶数列の１行目について見ていくと、
２列目は１２、４列目は２４、６列目は３６、８列目は４８、１０列目は６０…
と１２ずつ増えていきます。１０列右にずれると６０増えます。よって、１０列目で初めて５の倍数６０が現れ、その後は１０列ごとに５の倍数が現れます。
４０列目までに条件に合うのは、１０、２０、３０、４０列目。
以上より、５の倍数が１列に２個あるのは、
５、１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０列目の８列。
（３）難易度：★★☆☆☆
どんなときに７の倍数が横２マスに隣り合うのでしょうか。
７の倍数に７を加えると７の倍数となりますから、上図のように奇数列の３行目、もしくは偶数列の４列目に７の倍数がきたとき、その右隣にも７の倍数が現れることになります。
この条件に合う７の倍数を探してみると、４列目の４行目に２１がありますね。
２１を起点にして、４行目で７の倍数が隣り合うかのはいつかを調べてみます。２列右にずれるごとに１２増えますから、１４列右にずれると８４増え、７の倍数が再度現れることが分かります。
よって、４０列までで考えると、
４列目４行目とその右隣 → ２１と２８
１８列目４行目とその右隣 → １０５と１１２
３２列目４行目とその右隣 → １８９と１９６
の３カ所となります。
奇数列３行目で７の倍数を探してみましょう。
１列目３行目 ３
３列目３行目 ３＋１２＝１５
５列目３行目 １５＋１２＝２７
７列目３行目 ２７＋１２＝３９
９列目３行目 ３９＋１２＝５１
１１列目３行目 ５１＋１２＝６３
６３を起点にして、先ほどと同様に、１４列ずつ右にずらして調べてみましょう。
４０列までで考えると、
１１列目３行目とその右隣 → ６３と７０
２５列目３行目とその右隣 → １４７と１５４
３９列目３行目とその右隣 → ２３１と２３８
以上の６か所となります。
（４）難易度：★☆☆☆☆
１から２４０までの数の中で、５の倍数または７の倍数が何個あるかを数えればよいことになります。
５の倍数：２４０÷５＝４８
７の倍数：２４０÷７＝３４あまり２
３５の倍数：２４０÷３５＝６あまり３０
４８＋３４－６＝７６（個）
（５）難易度：★★★☆☆
縦１列６マスですから、７の倍数が１列に２つ以上並ぶことはできません。（２）より、５の倍数が１列に２つある列があるのは分かっていて、それらはすべて１行目と６行目です。
よって、黒く塗りつぶしたマス目が縦１列に３個ある列を探すには、２～５行目に７の倍数のある列のうち、（２）の条件を満たす列を探せばよいことになります。
１から１４列までで、２～５行目に７の倍数があるのは、上図の通り３～６列目と１０～１３列目。
１５列目以降は、上と同じ間隔で７の倍数が現れますので、４０列目までで考えると、
３～６、１０～１３、１７～２０、２４～２７、３１～３４、３８～４０列目
この中で（２）の条件を満たすのは、５、１０、２０、２５、４０列目の５列。
