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【須磨学園中学過去問解説】2021年度 算数 第3回 大問5

須磨学園中過去問 2021年度 算数 第3回 大問5

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFを見てください。そしてまず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

時計を使った問題ですが、普通の時計ではないので、これは「旅人算」として扱います。こういう普通じゃない問題は設定が整理できるかどうかがカギです。
「長針が右回りに2時間で1周」「短針が左回りに12時間で1周」「1から6の目盛りが等間隔にならんでいる」という情報を整理すると以下のようになります。

・長針:右回りに時速180°(分速3°)
    ※ただし、(2)から左回りに変わる
・短針:左回りに時速30°(分速0.5°)
・1目盛り:60°

問題文に書かれた「8時」と「1時間後(9時)」の時計の様子を図に表すと以下の通りです。

(1) 難易度:★★☆☆☆

11時になったとき、8時から3時間たっています。

このとき、長針は180°×3=540°右回りに回転しています。これは180°したのと同じ位置なので、3を指しています。

短針は、30°×3=90°左回りに回転しています。よって、6と1の真ん中を指しています。

図より、長針と短針でできる角のうち小さい方は150°

(2)難易度:★★☆☆☆

(1)より、11時の時点で長針と短針は150°離れています。(2)からどちらも左回りになるので、長針が短針を追いかける形になります。長針は分速3°、短針は分速0.5°なので、1分間に2.5°縮まることになります。

34分間で縮まるのは2.5°×34=85°だから、11時34分において長針と短針でできる角のうち小さい方は150°ー85°=65°

(3)難易度:★★☆☆☆

長針と短針でできる角が150°の状態から90°になるのは、➀ 差を90°まで縮めたときと、② 150°を追いついた後に90°差を開いたとき。

➀(150ー90)÷2.5=60÷2.5=24(分後)

②(150+90)÷2.5=60÷2.5=96(分後)

②は12時を超えているので、①の11時24分。

(4)難易度:★★★★☆

まずは8時から11時までの3時間で直角になる回数を数えます。

最初に直角になるのが8時の何分後かを計算します。
(120ー90)÷(3+0.5)
=30÷3.5
\frac{60}{7}
=8\frac{4}{7}

この後、長針と短針が合計180°進むごとに長針と短針が直角になります。

180÷3.5=\frac{360}{7}

なので、\frac{360}{7}分おきに直角になります。よって、11時までの残り時間で直角になる回数は、

(180-8\frac{4}{7})÷\frac{360}{7}
\frac{1200}{7}÷\frac{360}{7}
\frac{10}{3}
=3\frac{1}{3}

切り捨てて3回。最初の1回も合わせると4回直角になったことになります。そして(3)の11時24分は5回目だとわかります。

11時以降、長針が左回りになってからは直角になる間隔が変化します。つまり、直角の状態から180°差が開くごとに再び直角になります。

180÷(3-0.5)=72

なので、72分おきに直角になるということです。11時24分からあと4回直角になれば良いので、

 11時24分+72分×4
=11時24分+288分
=11時312分
=16時12分

 

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