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【須磨学園中学過去問解説】2021年度 算数 第3回 大問4

西宮市の家庭教師ダイアログでは、受験対策において志望校の過去問演習を最重視しています。ここでは受験生の自宅学習の手助けのために、須磨学園中学校の過去問解説を掲載いたします。

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFを見てください。そしてまず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

須磨学園中過去問 2021年度 算数 第3回 大問4

回転体の体積と表面積についての問題です。設問はすべて「〇〇は△△の何倍ですか」という問い方をしているので、円周率のかけ算をせずに計算していくのがコツです。ここでは3.14を使っていますが、慣れている人は記号「π(パイ)」を使ってもいいでしょう。

(1) 難易度:★★☆☆☆

直線ℓを中心に回転させると、円柱から円すいをくり抜いたような立体【あ】となり、直線ACを中心に回転させると円すい(立体【い】)になります。

上図のように、立体【あ】でくり抜かれた円すいと立体【い】は同じもので、また、底面の円も合同で高さもすべて同じです。よって、それぞれの体積は、

(立体【あ】の体積)=(底面積)×(高さ)ー(底面積)×(高さ)×\frac{1}{3}
=(底面積)×(高さ)×\frac{2}{3}

(立体【い】の体積)=(底面積)×(高さ)×\frac{1}{3}

よって、
\frac{(立体【あ】の体積)}{(立体【い】の体積)}=2

なので、直線ℓを軸として回転させたときの回転体(立体【あ】)の体積は、辺ACを軸として回転させたときの回転体(立体【い】)の体積の2倍です。

(2)難易度:★★★☆☆

直線mを中心に回転させると、円柱から円すいをくり抜いた立体【う】となります。

上図のように、立体【う】でくり抜かれた円すいの高さは円柱の高さおよび立体【い】の高さの\frac{1}{2}となります。

また、立体【う】の底面の円の半径は立体【い】の\frac{1}{2}となっています。よって、立体【う】の底面積は立体【い】の底面積の\frac{1}{4}となります。

(立体【う】の体積)
=(底面積⓵)×(高さ2⃣)ー(底面積⓵)×(高さ2⃣)×\frac{1}{6}
=(底面積⓵)×(高さ2⃣)×\frac{5}{6}

(立体【い】の体積)=(底面積⓸)×(高さ2⃣)×\frac{1}{3}

よって、
\frac{(立体【う】の体積)}{(立体【い】の体積)}\frac{5}{6}÷\frac{4}{3}\frac{5}{8}

なので、直線mを軸として回転させたときの回転体(立体【う】)の体積は、辺ACを軸として回転させたときの回転体(立体【い】)の体積の\frac{5}{8}倍です。

(3)難易度:★★★☆☆

点Mが辺BCの中点で、直線mは辺ABと平行なので、2つの三角形は相似な直角三角形となり、それぞれの長さは右図のようになります。

こうして分かった長さを、立体【あ】および立体【う】の見取り図に書き込んでいくと下図のようになります。

立体【あ】および立体【う】はどちらも円柱から円すいをくり抜いた立体なので 、その表面積は底面積、側面積、くり抜いた円すいの側面積(つまりおうぎ形の面積)の3つに分けることができます。それぞれ地道に計算していきましょう。

ただし、この問題で問われているのは「何倍か」なので、円周率は最後までかけずにおいておきましょう。

立体【あ】
底面積:6×6×3.14=36×3.14
側面積:6×2×3.14×8=96×3.14
おうぎ形の面積:10×10×3.14×\frac{6}{10}=60×3.14
よって、立体【あ】の表面積は、
(底面積)+(側面積)+(おうぎ形の面積)=192×3.14

立体【う】
底面積:3×3×3.14=9×3.14
側面積:3×2×3.14×8=48×3.14
おうぎ形の面積:5×5×3.14×\frac{3}{5}=15×3.14
よって、立体【う】の表面積は、
(底面積)+(側面積)+(おうぎ形の面積)=72×3.14

よって、
\frac{(立体【う】の表面積)}{(立体【あ】の表面積)}\frac{72}{192}\frac{3}{8}

なので、直線mを軸として回転させたときの回転体(立体【う】)の表面積は、直線ℓを軸として回転させたときの回転体(立体【あ】)の表面積の\frac{3}{8}倍です。

 

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