今回は須磨学園中学校の過去問です。
もくじ
１ 計算問題
解説は省略します。
２ 小問集合
解説は省略します。
３ 筆算の仕組み
筆算で入る数字を推測する問題です。この形式の問題が苦手だとしても、最低でも（１）と（３）は確実に解答しておきたいところです。
（１） 難易度：★☆☆☆☆
（１けたの数）＋（１けたの数）＝（２けたの数）となるのは、
６＋６＝１２，７＋７＝１４、
８＋８＝１６、９＋９＝１８の４通りで、いずれの和も十の位は１…（イ）
（ア）に入る数字は上にある通り、６,７,８,９の４通り。
（２）難易度：★★★☆☆
十の位の計算に注目すると、
（エ）＋（オ）→（エ）
となっています。
このような（オ）の数字は２通りです。
・（オ）＝０ 一の位からくりあがり無し
・（オ）＝９ 一の位からくりあがって＋１
入る数字は１～９なので、（オ）＝９で確定です。
（エ）に順番に数を入れていきます。
まず、（エ）＝８のとき、（エオ）＋（オエ）＝８９＋９８＝１８７
いきなりですが、これで条件に合うので、（エオ）＝８９
（３）難易度：★☆☆☆☆
（１けたの数）×（１けたの数）で一の位が等しくなるのは
１×１＝１、５×５＝２５、６×６＝３６
積は（ケク）と２けたなので、（ク）＝５または６
（４）難易度：★★★☆☆
（３）より（サ）に入る可能性があるのは１、５、６。ただし、この条件だけだと（コサ）の候補は２４個あります。もう少し絞りたいですね。
まず、（サ）が１だとすると、筆算をやっていくと十の位の計算は
（コ）＋（コ）＝（コ）
となるはずです。
しかし１～９の中には、そんな数はありません。よって、（サ）は１ではないことになります。
（サ）が５だとすると、
（コサ）×（コサ）
＝ {（コ）×１０＋５} × {（コ）×１０＋５}
＝（コ）×（コ）×１００＋（コ）×１０×５＋５×（コ）×１０＋５×５
＝（コ）×（コ）×１００＋（コ）×１００＋５×５
＝{（コ）×（コ）＋（コ）}×１００＋２５
{（コ）×（コ）＋（コ）}×１００の下２けたは００、それに２５を加えた数です。
よって（シココサ）の下２けたは２５となり（コサ）＝２５となります。
しかし、２５×２５＝６２５で、条件に合いません。
よって（サ）は５ではありません。
以上より、（サ）＝６で確定します
すると（コサ）は偶数だとわかり、（コサ）×（コサ）は（偶数）×（偶数）なので４の倍数だとわかります。
４の倍数の下２けたは４の倍数のなので（コサ）も４の倍数です。一の位が６である４の倍数は、１６、３６、５６、７６、９６の５個です。これなら全部試せますね。
１６×１６＝２５６
３６×３６＝１２９６
５６×５６＝３１３６
７６×７６＝５７７６
９６×９６＝９２１６
条件に合うのは、（コサ）＝７６
４ 回転体の体積と表面積
回転体の体積と表面積についての問題です。設問はすべて「〇〇は△△の何倍ですか」という問い方をしているので、円周率のかけ算をせずに計算していくのがコツです。ここでは３.１４を使っていますが、慣れている人は記号「π（パイ）」を使ってもいいでしょう。
（１） 難易度：★★☆☆☆
直線ℓを中心に回転させると、円柱から円すいをくり抜いたような立体【あ】となり、直線ＡＣを中心に回転させると円すい（立体【い】）になります。
上図のように、立体【あ】でくり抜かれた円すいと立体【い】は同じもので、また、底面の円も合同で高さもすべて同じです。よって、それぞれの体積は、
（立体【あ】の体積）＝（底面積）×（高さ）ー（底面積）×（高さ）×\frac{１}{３}
＝（底面積）×（高さ）×\frac{２}{３}
（立体【い】の体積）＝（底面積）×（高さ）×\frac{１}{３}
よって、
\frac{（立体【あ】の体積）}{（立体【い】の体積）}＝２
なので、直線ℓを軸として回転させたときの回転体（立体【あ】）の体積は、辺ＡＣを軸として回転させたときの回転体（立体【い】）の体積の２倍です。
（２）難易度：★★★☆☆
直線ｍを中心に回転させると、円柱から円すいをくり抜いた立体【う】となります。
上図のように、立体【う】でくり抜かれた円すいの高さは円柱の高さおよび立体【い】の高さの\frac{１}{２}となります。
また、立体【う】の底面の円の半径は立体【い】の\frac{１}{２}となっています。よって、立体【う】の底面積は立体【い】の底面積の\frac{１}{４}となります。
（立体【う】の体積）
＝（底面積⓵）×（高さ2⃣）ー（底面積⓵）×（高さ2⃣）×\frac{１}{６}
＝（底面積⓵）×（高さ2⃣）×\frac{５}{６}
（立体【い】の体積）＝（底面積⓸）×（高さ2⃣）×\frac{１}{３}
よって、
\frac{（立体【う】の体積）}{（立体【い】の体積）}＝ \frac{５}{６}÷\frac{４}{３}＝\frac{５}{８}
なので、直線ｍを軸として回転させたときの回転体（立体【う】）の体積は、辺ＡＣを軸として回転させたときの回転体（立体【い】）の体積の\frac{５}{８}倍です。
（３）難易度：★★★☆☆
点Ｍが辺ＢＣの中点で、直線ｍは辺ＡＢと平行なので、２つの三角形は相似な直角三角形となり、それぞれの長さは右図のようになります。
こうして分かった長さを、立体【あ】および立体【う】の見取り図に書き込んでいくと下図のようになります。
立体【あ】および立体【う】はどちらも円柱から円すいをくり抜いた立体なので 、その表面積は底面積、側面積、くり抜いた円すいの側面積（つまりおうぎ形の面積）の３つに分けることができます。それぞれ地道に計算していきましょう。
ただし、この問題で問われているのは「何倍か」なので、円周率は最後までかけずにおいておきましょう。
立体【あ】
底面積：６×６×３.１４=３６×３.１４
側面積：６×２×３.１４×８＝９６×３.１４
おうぎ形の面積：１０×１０×３.１４×\frac{６}{１０}＝６０×３.１４
よって、立体【あ】の表面積は、
（底面積）＋（側面積）＋（おうぎ形の面積）＝１９２×３.１４
立体【う】
底面積：３×３×３.１４=９×３.１４
側面積：３×２×３.１４×８＝４８×３.１４
おうぎ形の面積：５×５×３.１４×\frac{３}{５}＝１５×３.１４
よって、立体【う】の表面積は、
（底面積）＋（側面積）＋（おうぎ形の面積）＝７２×３.１４
よって、
\frac{（立体【う】の表面積）}{（立体【あ】の表面積）}＝\frac{７２}{１９２}＝\frac{３}{８}
なので、直線ｍを軸として回転させたときの回転体（立体【う】）の表面積は、直線ℓを軸として回転させたときの回転体（立体【あ】）の表面積の\frac{３}{８}倍です。
５ 変則時計算
時計を使った問題ですが、普通の時計ではないので、これは「旅人算」として扱います。こういう普通じゃない問題は設定が整理できるかどうかがカギです。
「長針が右回りに２時間で１周」「短針が左回りに１２時間で１周」「１から６の目盛りが等間隔にならんでいる」という情報を整理すると以下のようになります。
・長針：右回りに時速１８０°（分速３°）
※ただし、（２）から左回りに変わる
・短針：左回りに時速３０°（分速０.５°）
・１目盛り：６０°
問題文に書かれた「８時」と「１時間後（９時）」の時計の様子を図に表すと以下の通りです。
（１） 難易度：★★☆☆☆
１１時になったとき、８時から３時間たっています。
このとき、長針は１８０°×３＝５４０°右回りに回転しています。これは１８０°したのと同じ位置なので、３を指しています。
短針は、３０°×３＝９０°左回りに回転しています。よって、６と１の真ん中を指しています。
図より、長針と短針でできる角のうち小さい方は１５０°
（２）難易度：★★☆☆☆
（１）より、１１時の時点で長針と短針は１５０°離れています。（２）からどちらも左回りになるので、長針が短針を追いかける形になります。長針は分速３°、短針は分速０.５°なので、１分間に２.５°縮まることになります。
３４分間で縮まるのは２.５°×３４＝８５°だから、１１時３４分において長針と短針でできる角のうち小さい方は１５０°ー８５°＝６５°
（３）難易度：★★☆☆☆
長針と短針でできる角が１５０°の状態から９０°になるのは、➀ 差を９０°まで縮めたときと、② １５０°を追いついた後に９０°差を開いたとき。
➀（１５０ー９０）÷２.５＝６０÷２.５＝２４（分後）
②（１５０＋９０）÷２.５＝６０÷２.５＝９６（分後）
②は１２時を超えているので、①の１１時２４分。
（４）難易度：★★★★☆
まずは８時から１１時までの３時間で直角になる回数を数えます。
最初に直角になるのが８時の何分後かを計算します。
（１２０ー９０）÷（３＋０.５）
＝３０÷３.５
＝\frac{６０}{７}
＝８\frac{４}{７}
この後、長針と短針が合計１８０°進むごとに長針と短針が直角になります。
１８０÷３.５＝\frac{３６０}{７}
なので、\frac{３６０}{７}分おきに直角になります。よって、１１時までの残り時間で直角になる回数は、
（１８０－８\frac{４}{７}）÷\frac{３６０}{７}
＝\frac{１２００}{７}÷\frac{３６０}{７}
＝\frac{１０}{３}
＝３\frac{１}{３}
切り捨てて３回。最初の１回も合わせると４回直角になったことになります。そして（３）の１１時２４分は５回目だとわかります。
１１時以降、長針が左回りになってからは直角になる間隔が変化します。つまり、直角の状態から１８０°差が開くごとに再び直角になります。
１８０÷（３－０.５）＝７２
なので、７２分おきに直角になるということです。１１時２４分からあと４回直角になれば良いので、
１１時２４分＋７２分×４
＝１１時２４分＋２８８分
＝１１時３１２分
＝１６時１２分
