【須磨学園中学過去問解説】２０２１年度 算数 第２回

西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は須磨学園中学校の過去問です。

１　計算問題

　解説は省略します。

２　小問集合

解説は省略します。

３　旅人算とダイアグラム

旅人算とダイアグラムを使った問題です。グラフが目盛りの交差する点をたくさん通るので、とても考えやすく設定されています。問題文さえしっかり読めれば、このタイプの問題としてはかなり易しめのレベルでしょう。

（１）難易度：★★☆☆☆

出発から２０分の時点で仙人は頂上に着き、太郎君は頂上まで１ｋｍのところまで来ています。

この時点から「向かい合う旅人算」で出会うまでの時間を求めると、

１０００÷（１００＋５０）＝６\frac{２}{３}

出発からの時間は、

２０分＋６\frac{２}{３}分＝２６分４０秒

（２）難易度：★★☆☆☆

ダイアグラムより、２回目に出会う直前の出発から５５分の時点で、太郎君は頂上にいて、仙人は頂上まで５００ｍの地点にいることがわかります。

この時点から「向き合う旅人算」で出会うまでの時間を求めると、

５００÷（１００＋８０）＝\frac{２５}{９}（分）

このとき、仙人の動いた距離は、

１００×\frac{２５}{９}＝\frac{２５００}{９}＝２７７\frac{７}{９}

よって、ふもとからの距離は、
１５００＋２７７\frac{７}{９}＝１７７７\frac{７}{９}（ｍ）

（３）難易度：★★☆☆☆

体力が付いた太郎君の移動の様子をダイアグラムに書き込んでみましょう。上りは分速６０ｍなので、目盛りが交差するところを探すと、２５分で１５００ｍです。ここでちょうど下っている仙人と１回目に出会うことがダイアグラムから分かります。

２回目にまたこの１５００ｍ地点で仙人と出会えばいいので、次に仙人が上ってくるときに出会うように頂上にいる時間を調整すると、５０分に頂上を出発すればよいことになります。

太郎君が頂上に到着したのは、２０００÷６０＝３３\frac{１}{３}分なので、景色を見ていた時間は、

５０－３３\frac{１}{３}＝１６\frac{２}{３}（分）

４　立体の表面積

ひねったところが無く、例年の須磨の立体図形問題と比べると明らかに易しいと思います。そのぶん、ミスが命取りになります。数えもれや計算ミスがないよう気を付けたいところです。

（１）難易度：★★☆☆☆

この７段ピラミッドを上・下・左・右・手前・奥の６方向から見たときに見える立方体の面（正方形）の数をかぞえていきます。

このうち、 左・右・手前・奥から見た面（側面）は右図のように同じように見えます。一つの側面に見える正方形の数は、

（１＋２＋…＋７）
＝（１＋７）×７÷２
＝２８（個）

よって、 一つの側面の面積は２８㎠

また上と下から見た面は重なり方は違うものの、面積は等しく７×７＝４９（㎠）

よって、表面積は、

２８×４＋４９×２＝２１０（㎠）

（２） 難易度：★☆☆☆☆

７段ピラミッドに含まれる積み木の数は、

１×１＋２ × ２ ＋ ３ × ３ ＋ ４ × ４ ＋ ５ × ５ ＋ ６ × ６ ＋ ７ × ７
＝１＋４＋９＋１６＋２５＋３６＋４９
＝１４０（個）

よって、積み木をばらばらにしたときの表面積の和は、

１×６×１４０＝８４０（㎠）

（１）より、色の塗られた部分の面積は２１０㎠ だから、色の塗られていない部分の面積は、

８４０－２１０＝６３０㎠

（３）難易度：★★☆☆☆

積み木の数は１４０個なので、７段ピラミッドの体積は１４０㎤であり、その半分は７０㎤。

そして、６段目の中で切断面より下にある部分（図中の青色）の体積は、
７０－４９＝２１（㎤）

この部分の底面積は６×６＝３６（㎠）だから、高さは
２１÷３６＝\frac{２１}{３６}＝\frac{７}{１２} （cm）

下面からの高さは、
１＋\frac{７}{１２}＝１\frac{７}{１２}（cm）

５　数字の並べ替え

数を選んで決まったけた数だけ並べる問題です。よくあるパターンの問題で難易度も標準的です。コツコツ勉強した中で何度か当たったことがある人にとっては得点源になります。

（１） 難易度：★☆☆☆☆

（ア）百の位から順に数字を選びます。百の位の選び方は６通り、十の位の選び方は５通り、 一の位の選び方は４通りあるから、

６×５×４＝１２０（通り）…（ア）

（参考）百の位が１の場合だけ樹形図を描くと以下のようになり、２０通り。百の位が２～６の場合でも同様の樹形図になります。

（イ）６けたの場合も、３けたと同じように考えます。十万の位の選び方は６通り、一万の位の選び方は５通り、 千の位の選び方は４通り、百の位の選び方は３通り、十の位の選び方は２通り、 一の位の選び方は１通り。

よって、６×５×４×３×２×１＝７２０（通り）…（イ）

（２）難易度：★★☆☆☆

（ウ）一の位が偶数であればよいので、一の位から選んでいきます。

一の位の選び方は３通り、千の位の選び方は５通り、 百の位の選び方は４通り、十の位の選び方は３通りであるから３×５×４×３＝１８０（通り）…（ウ）

（エ）一の位が５であればよいので、一の位から選んでいきます。

一の位の選び方は１通り、千の位の選び方は５通り、 十の位の選び方は４通り、一の位の選び方は３通りであるから１×５×４×３＝６０（通り）…（エ）

（３）難易度：★★☆☆☆

「２４５３６１」よりも小さい数を小さい方から数えていきます。以下のように、まとまり毎に数えていくのがポイントです。　

十万の位が１の数（１〇〇〇〇〇）→５×４×３×２×１＝１２０（通り）

十万、一万の位が２１の数（２１〇〇〇〇）→４×３×２×１＝２４（通り）

十万、一万の位が２３の数（２３〇〇〇〇）→４×３×２×１＝２４（通り）

十万、一万、千の位が２４１の数（２４１〇〇〇）→３×２×１＝６（通り）

十万、一万、千の位が２４３の数（２４３〇〇〇）→３×２×１＝６（通り）

十万、一万、千、百の位が２４５１の数（２４５１〇〇）→２×１＝２（通り）

この次が２４５３１６、さらにその次が２４５３６１。

よって２４５３６１よりも小さい数は、
１２０＋２４＋２４＋６＋６＋２＋１＝１８３（通り）…（オ）

「より小さい」なので、「２４５３６１」自体を入れてしまわないように注意しましょう。

（４）難易度：★★★☆☆

３けたの数字を百の位と十の位と一の位に分けて考えましょう。

例えば、６４３であれば、６００＋４０＋３という風に分解することができます。

この百の位だけを集めて足すことを考えてみましょう。

１００＋…＋１００＋２００＋…２００＋……＋６００＋…６００

という計算になりますね。百の位が１の数は５×４×３×２×１＝２０個つまり、１００を２０個、２００を２０個…、６００を２０個足すことになります。（ア）より、３けたの数は１２０個ありますから６等分されているのですね。上の式を工夫して計算すると、

１００×２０＋２００×２０＋３００×２０＋４００×２０＋５００×２０＋６００×２０
＝１００×（１＋２＋３＋４＋５＋６）×２０
＝４２０００

次に、十の位をとりだすのですが、これも百の位と同じように、１０を２０個、２０を２０個…、６０を２０個足すことになります。なので、

１０×２０＋２０×２０＋３０×２０＋４０×２０＋５０×２０＋６０×２０
＝１０×（１＋２＋３＋４＋５＋６）×２０
＝４２００

一の位の同様です。

１×２０＋２×２０＋３×２０＋４×２０＋５×２０＋６×２０
＝（１＋２＋３＋４＋５＋６）×２０
＝４２０

よって、 ４２０００＋４２００＋４２０＝４６６２０…（カ）

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