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【須磨学園中学過去問解説】2021年度 算数 第1回 大問4

須磨学園中過去問 2021年度 算数 第1回 大問4

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFを見てください。まず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

数列の問題です。数列は「ルールをみやぶる」ことが大事ですが、分数だとわかりにくいですよね。分数をふくむ数列は分子と分母を分解して見ていくと、ルールが分かることが多いです。

 分子→1,1,2,1,2,3,1,2,3,4…
 分母→2,23,3,34,4,4,4

こうやってみると、分子は増えたり減ったりしているので難しそう。でも分母のルールは分かりやすいですね。数字が増えていきますが、1は1つ、2は2つ、という風に数字がその数のぶんだけ続くことが分かります。

ここで「ということは、この数列は最初の1つ、次の2つ、という風にグループに分けて考えるとうまくいくんじゃないかな?」という風に考えます。分子もそのやり方で分けてみましょう。

 分子→1,21,2,31,2,3,4
 分母→2,23,3,34,4,4,4

こうしてみると、分子は1に戻って数を増やすというルールだということが分かります。このように、いくつかのグループに分けるとルールが分かりやすい数列を「群数列」といいます。

群数列は「第〇グループの△番目」で表すことを考えると解ける問題が多いです。この数列は分母が〇、分子が△になることが分かります。では、実際に問題を解いてみましょう。

(1)難易度:★★☆☆☆

群数列の問題では定番ですね。\frac{12}{20}は分子が12、分母が20なので 「第20グループの12番目」だということが分かり、「第19グループの最後までに数字が何個あるか」を計算して、それに12を足せばよいことになります。

グループに含まれる数字の数は1つ、2つと増えていくので、
1+2+3+…+19を計算します。

このような同じ数ずつ増えていく数列の和は
 {(最初の数)+(最後の数)} ×(数の個数)÷2で出せます。

だから、(1+19)×19÷2=190

よって、 第19グループの最後までに数字は190個あり、 「第20グループの12番目」 の数は、190+12=202

(2) 難易度:★★★☆☆

これも定番の問題ですが(1)より少しだけ難しいです。503番目を「第〇グループの△番目」で表すことを考えます。

まず、503番目は何グループなのかを考えるのですが、このとき、
 1+2+3+…+〇=(503に近い数)
となるような〇をどうにかして探せばよいことになります。

一つずつ足していってもよいでのすが、時間がかかるので、
{(最初の数)+(最後の数)} ×(数の個数)÷2 を使います。

503番目が第〇グループの次のグループに入っているとします。すると、〇グループの最後の番号は503番目よりも小さくなるので、
 (1+〇)× 〇 ÷2<503 となります。

ここで(1+〇)× 〇 ÷2が503に近づくように、〇にいろんな数を入れていくのですが、 (1+1)× 1 ÷2 =1、(1+2)× 2 ÷2=3という風に、なかなか503に近づかないので、ざっくり10ずつ増やしてみましょう。

(1+10)× 10 ÷2=55
(1+20)× 20 ÷2=210
(1+30)× 30 ÷2=465  近づいてきたので1ずつ増やします。
(1+31)× 31 ÷2=496  次で503超えそうですね。
(1+32)× 32 ÷2=528  超えました。

つまり、 (1+〇)× 〇 ÷2<503 となる一番大きな〇は31であり、503は第32グループに入ることが分かります。

第31グループの最後までにある数字の個数は496個なので、
503番目は 第32グループの7番目であることが分かり、
その分数は\frac{7}{32}となります。

(3)難易度:★★★★☆

これはやや難しいですね。でも、グループに分けて考えることを徹底すると、意外とすんなりと解けます。

分数の和を求めるとき、分母が等しいと通分しなくていいので簡単ですよね。なので、分母の等しいグループごとに和を出すことを考えます。ただし、第31グループまで一つ一つ和を求めていくのは大変なので、グループの和に規則性はないか、はじめのいくつかのグループ(だいたい4つくらい)で考えてみます。このように、ルールを予想するためにいくつか計算をすることを「実験」といいます。

数列の問題で、やり方が分からないときの鉄則は「実験してみる」です。

 (第1グループの和)=\frac{1}{1}= 1
 (第2グループの和)=\frac{1}{2}\frac{2}{2}\frac{3}{2}
 (第3グループの和)=\frac{1}{3}\frac{2}{3}\frac{3}{3}=2
 (第4グループの和)=\frac{1}{4}\frac{2}{4}\frac{3}{4}\frac{4}{4}\frac{5}{2}

という風に、グループごとの和が\frac{1}{2}ずつ増えていることが分かります。よって 第31グループ までの和は、

(第1グループの和)+(第2グループの和)+ …+(第31グループの和)
=1+\frac{3}{2}\frac{4}{2}+…+\frac{32}{2}
\frac{2+3+4+...+32}{2}
\frac{(2+32)×31}{2}

となります。

※注意 満点を取るにはおそらく「なぜ\frac{1}{2}ずつ増えるのか」を説明した方が良いと思いますので下の清書に書きます。ただ、実験を書いただけでも大幅な減点はされないと思います。

これに第32グループの1~7番目を足せばよいことになります。

\frac{1}{32}\frac{2}{32}+…+\frac{7}{32}
\frac{1+2+3+4+5+6+7}{32 }
\frac{28}{32}
\frac{7}{8}

よって、1番目から503番目までの和は、

\frac{527}{2}\frac{11}{8}
\frac{2115}{8}
=264\frac{3}{8}

最後に、解答用紙に書く「考え方」を清書します。「グループ」は正式には「群」といいますので、そこも直しておきます。

503番目は第32群の7番目の数なので、第31群までの和と第32群の1~7番目までの和を足せばよい。

第〇群に含まれる分数は、分母が全て〇、分子が1、2、3、…、〇なので、
(第〇群の和)
\frac{1}{〇}\frac{2}{〇}\frac{3}{〇}+…+\frac{〇}{〇}
\frac{1+2+3+…+〇}{〇}
\frac{(1+〇)×〇÷2}{〇}
\frac{1+〇}{2}

よって、
(第1群の和)+(第2群の和)+…+(第31群の和)
\frac{2}{2}\frac{3}{2}+…+\frac{32}{2}
=(1+16)×31÷2
\frac{527}{2}

第32群の1~7番目の和は、
\frac{1}{32}\frac{2}{32}+…+\frac{7}{32}
\frac{1+2+3+4+5+6+7}{32}
\frac{28}{32}
\frac{7}{8}

よって、1番目から503番目までの和は、
\frac{527}{2}\frac{11}{8}
\frac{2115}{8}
=264\frac{3}{8}

  

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