【須磨学園中学過去問解説】２０２１年度 算数 第１回

西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は須磨学園中学校の過去問です。

１　計算問題

解説は省略します。

２　小問集合

解説は省略します。

３　立体図形と水のかさ

立体図形の問題です。この問題は設定を理解し、情報を整理するところまでが重要です。問題文を理解して図に描きこんでいき、「３つのしきり」を立体的にイメージできた人は解答できます。逆にイメージができなければ全問不正解も十分ありえる、合否を分ける危険な問題といえるでしょう。

（●,▲,■）と表された点を４つ結んでできる四角形を書き込んでいき、水そうの中でどんな位置にあるかを把握していきます。すると、下図のような３つのしきりとなります。ただし、しきりＣの高さは５以上１０未満でまだわかりません。

これを上から見ると、しきりによって（あ）（い）（う）の３つエリアに分かれ、底面積はそれぞれ
（あ）４×４＝１６㎠
（う）６×６÷２＝１８㎠
（い）１０×１０－（１６＋１８）＝６６㎠
となります。

ここまで整理できていれば、設問自体はそこまで難しくないでしょう。

（１） 難易度：★★★☆☆

（２,２,□） は（あ）の上にあります。

しきりＡ,Ｂと水そうの壁で囲まれた立方体の部分の容積は、
１６×４＝６４㎤

５６㎤＜６４㎤なので、（２,２,□）はこの立方体部分の中にあり、水面の高さは５６÷１６＝３.５（ｃｍ）

（２）難易度：★★★☆☆

（５,５,□） は（い）の上にあります。（い）に入ってくる水は、しきりＡ,Ｂからあふれたものです。あふれた水の量は、
３０８.２－６４＝２４４.２（㎤）

あふれた水が全部（い）に入ったと仮定すると、その高さは
２４４.２÷６６＝３.７（ｃｍ）

この高さはしきりＡ,Ｂ,Ｃを越えないので、先ほどの仮定は正しかったことになります。よって、このときの （い）における水面の高さは３．７ｃｍということになります。

（３）難易度：★★★☆☆

（６,９,４）は（う）の上にあります。

つまり、水はしきりＣを越え、（う）に入っていったことになります。

（う）に入った水の量は、底面積と高さが分かっているので計算できますね。
１８×４＝７２（㎤ ）

よって、（あ）と（い）に入っている水の量は、
７６９－７２＝６９７（㎤）

水が高さ５ｃｍ以上のしきりＣを越えているということは、高さ４ｃｍのしきりＡ,Ｂも越えているので（あ）と（い）の水面の高さは同じです。その高さは、
６９７÷（１６＋６６）＝８.５（ｃｍ）

これがしきりＣの高さと一致するから、★＝８．５ｃｍ。

４　数列

数列の問題です。数列は「ルールをみやぶる」ことが大事ですが、分数だとわかりにくいですよね。分数をふくむ数列は分子と分母を分解して見ていくと、ルールが分かることが多いです。

　分子→１，１，２，１，２，３，１，２，３，４…
　分母→１，２，２，３，３，３，４，４，４，４…

こうやってみると、分子は増えたり減ったりしているので難しそう。でも分母のルールは分かりやすいですね。数字が増えていきますが、１は１つ、２は２つ、という風に数字がその数のぶんだけ続くことが分かります。

ここで「ということは、この数列は最初の１つ、次の２つ、という風にグループに分けて考えるとうまくいくんじゃないかな？」という風に考えます。分子もそのやり方で分けてみましょう。

　分子→１，１，２，１，２，３，１，２，３，４…
　分母→１，２，２，３，３，３，４，４，４，４…

こうしてみると、分子は１に戻って数を増やすというルールだということが分かります。このように、いくつかのグループに分けるとルールが分かりやすい数列を「群数列」といいます。

群数列は「第〇グループの△番目」で表すことを考えると解ける問題が多いです。この数列は分母が〇、分子が△になることが分かります。では、実際に問題を解いてみましょう。

（１）難易度：★★☆☆☆

群数列の問題では定番ですね。\frac{１２}{２０}は分子が１２、分母が２０なので 「第２０グループの１２番目」だということが分かり、「第１９グループの最後までに数字が何個あるか」を計算して、それに１２を足せばよいことになります。

グループに含まれる数字の数は１つ、２つと増えていくので、
１＋２＋３＋…＋１９を計算します。

このような同じ数ずつ増えていく数列の和は
　{（最初の数）＋（最後の数）} ×（数の個数）÷２で出せます。

だから、（１＋１９）×１９÷２＝１９０

よって、 第１９グループの最後までに数字は１９０個あり、 「第２０グループの１２番目」 の数は、１９０＋１２＝２０２

（２） 難易度：★★★☆☆

これも定番の問題ですが（１）より少しだけ難しいです。５０３番目を「第〇グループの△番目」で表すことを考えます。

まず、５０３番目は何グループなのかを考えるのですが、このとき、
　１＋２＋３＋…＋〇＝（５０３に近い数）
となるような〇をどうにかして探せばよいことになります。

一つずつ足していってもよいでのすが、時間がかかるので、
{（最初の数）＋（最後の数）} ×（数の個数）÷２ を使います。

５０３番目が第〇グループの次のグループに入っているとします。すると、〇グループの最後の番号は５０３番目よりも小さくなるので、
　（１＋〇）× 〇 ÷２＜５０３　となります。

ここで（１＋〇）× 〇 ÷２が５０３に近づくように、〇にいろんな数を入れていくのですが、 （１＋１）× １ ÷２ ＝１、（１＋２）× ２ ÷２＝３という風に、なかなか５０３に近づかないので、ざっくり１０ずつ増やしてみましょう。

（１＋１０）× １０ ÷２＝５５
（１＋２０）× ２０ ÷２＝２１０
（１＋３０）× ３０ ÷２＝４６５　　近づいてきたので１ずつ増やします。
（１＋３１）× ３１ ÷２＝４９６　　次で５０３超えそうですね。
（１＋３２）× ３２ ÷２＝５２８　　超えました。

つまり、 （１＋〇）× 〇 ÷２＜５０３ となる一番大きな〇は３１であり、５０３は第３２グループに入ることが分かります。

第３１グループの最後までにある数字の個数は４９６個なので、
５０３番目は 第３２グループの７番目であることが分かり、
その分数は\frac{７}{３２}となります。

（３）難易度：★★★★☆

これはやや難しいですね。でも、グループに分けて考えることを徹底すると、意外とすんなりと解けます。

分数の和を求めるとき、分母が等しいと通分しなくていいので簡単ですよね。なので、分母の等しいグループごとに和を出すことを考えます。ただし、第３１グループまで一つ一つ和を求めていくのは大変なので、グループの和に規則性はないか、はじめのいくつかのグループ（だいたい４つくらい）で考えてみます。このように、ルールを予想するためにいくつか計算をすることを「実験」といいます。

数列の問題で、やり方が分からないときの鉄則は「実験してみる」です。

　（第１グループの和）＝\frac{１}{１}＝ １
　（第２グループの和）＝\frac{１}{２}＋\frac{２}{２}＝\frac{３}{２}
　（第３グループの和）＝\frac{１}{３}＋\frac{２}{３}＋\frac{３}{３}＝２
　（第４グループの和）＝\frac{１}{４}＋\frac{２}{４}＋\frac{３}{４}＋\frac{４}{４}＝\frac{５}{２}

という風に、グループごとの和が\frac{１}{２}ずつ増えていることが分かります。よって 第３１グループ までの和は、

（第１グループの和）＋（第２グループの和）＋ …＋（第３１グループの和）
＝１＋\frac{３}{２}＋\frac{４}{２}＋…＋\frac{３２}{２}
＝\frac{２＋３＋４＋…＋３２}{２}
＝\frac{（２＋３２）×３１}{２}

となります。

※注意　満点を取るにはおそらく「なぜ\frac{１}{２}ずつ増えるのか」を説明した方が良いと思いますので下の清書に書きます。ただ、実験を書いただけでも大幅な減点はされないと思います。

これに第３２グループの１～７番目を足せばよいことになります。

\frac{１}{３２}＋\frac{２}{３２}＋…＋\frac{７}{３２}
＝\frac{１＋２＋３＋４＋５＋６＋７}{３２ }
＝\frac{２８}{３２}
＝\frac{７}{８}

よって、１番目から５０３番目までの和は、

\frac{５２７}{２}＋\frac{１１}{８}
＝\frac{２１１５}{８}
＝２６４\frac{３}{８}

最後に、解答用紙に書く「考え方」を清書します。「グループ」は正式には「群」といいますので、そこも直しておきます。

５０３番目は第３２群の７番目の数なので、第３１群までの和と第３２群の１～７番目までの和を足せばよい。

第〇群に含まれる分数は、分母が全て〇、分子が１、２、３、…、〇なので、
（第〇群の和）
＝\frac{１}{〇}＋\frac{２}{〇}＋\frac{３}{〇}＋…＋\frac{〇}{〇}
＝\frac{１＋２＋３＋…＋〇}{〇}
＝\frac{（１＋〇）×〇÷２}{〇}
＝\frac{１＋〇}{２}

よって、
（第１群の和）＋（第２群の和）＋…＋（第３１群の和）
＝\frac{２}{２}＋\frac{３}{２}＋…＋\frac{３２}{２}
＝（１＋１６）×３１÷２
＝\frac{５２７}{２}

第３２群の１～７番目の和は、
\frac{１}{３２}＋\frac{２}{３２}＋…＋\frac{７}{３２}
＝\frac{１＋２＋３＋４＋５＋６＋７}{３２}
＝\frac{２８}{３２}
＝\frac{７}{８}

よって、１番目から５０３番目までの和は、
\frac{５２７}{２}＋\frac{１１}{８}
＝\frac{２１１５}{８}
＝２６４\frac{３}{８}

５　数字のならべかえ

この問題のような、和が決まった数の選び方には公式がないので、樹形図を描いて数えるのがメインの解法になります。重複（ダブり）と数えもらしがないように工夫が必要です。ａーｂーｃーｄの樹形図をａ≦ｂ≦ｃ≦ｄというルールを守りながら描くと重複が防げます。では実際に解いてみましょう。

（１） 難易度：★☆☆☆☆

４回玉をひいて２２点を取る取り方を数えます。まず基礎点が１２点あるので、４つの玉の数字の計算値は１０になります。

条件よりａ＝０として、ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０となるように樹形図を描くと…

０ー１－１－８
　｜　＼２ー７
　｜　＼３－６
　｜　＼４－５
　｜
　＼２ー２ー６
　｜　＼３ー５
　｜　＼４ー４
　｜
　＼３ー３ー４

以上、８通り。

（２）難易度：★★☆☆☆

「０の青玉を３個、０以外の青玉を１個取り出し得点が２２点」は不可能なので０通り。

「０の青玉を２個、０以外の青玉を２個取り出し得点が２２点」となる取り出し方は問題文より５通り。

「０ の青玉を１個、０以外の青玉を３個取り出し得点が２２点」となる取り出し方は（１）より８通り。

「０以外の青玉を４個取り出し得点が２２点」となるには、１≦ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄでａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１０となればよいことになります。 取り出し方は下の樹形図より９通り。

以上より「青玉を４個取り出し得点が２２点」となる取り出し方は、
５＋８＋９＝２２（通り）

（３）難易度：★★★☆☆

赤玉で出た数字は【】記号を付けて表すことにします。

【１】のとき、青玉３つの合計が１１になります。同様に、【２】【３】のときには青玉３つの合計はそれぞれ１２、１３となります。樹形図を描くと、

以上、あわせて４４通り。

（４）難易度：★★★★★

「青玉を２個、赤玉を２個取り出し得点が２２点」となる場合を考えます。

青玉２個の数字合計は０以上１８以下、 赤玉２個の数字合計は２以上６以下です。その範囲の中で、

（青玉２個の合計）ー（赤玉２個の合計）＝１０となるのは、
（青玉２個の合計,赤玉２個の合計）が
（１２,２）,（１３,３）,（１４,４）,（１５,５）, （１６,６） のときです。

それぞれの場合について、玉の数字の組み合わせを表にすると下のようになります。

よって、 「青玉を２個、赤玉を２個取り出し得点が２２点」となるのは、
４＋３＋６＋２＋２＝１７通り

また、「青玉を１個、赤玉を３個取り出し得点が２２点」や
「赤玉を４個取り出し得点が２２点」 となるのはどちらも不可能なので、
０通り。

以上と（２）（３）より、得点が２２点となるのは、
２２＋４４＋１７＝８３（通り）　

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