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【須磨学園中学過去問解説】2020年度 算数 第3回 大問5

須磨学園中過去問 2020年度 算数 第3回 大問5

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFを見てください。そしてまず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

「時間帯によって変化する速度」の問題です。(4)だけ、ずば抜けて難易度が高く、計算量も多いです。残り時間にもよりますが、(1)~(3)を確実に解答して(4)はあきらめ、他の問題の見直しに時間をあてるのが得策といえるでしょう。

(1)難易度:★☆☆☆☆

10時~11時、11時~12時、12時~13時、13時~13時40分の間にそれぞれどれだけの距離を移動したのかを求め、足していきます。

8+10+12+15×\frac{40}{60}=40(km)

(2)難易度:★★☆☆☆

速度の大きい時間帯を優先的に使うことを考えます。

速度が一番大きいのは、14時~15時で18km/時、二番目が13時~14時で15km/時となっているので、この2時間で18+15=33km移動します。

残りの7kmは隣接する時間帯の12時~13時か、15時~16時で移動するのですが、より速度の大きい15時~16時で移動することを選びます。

7÷14=0.5(時間)→30(分)

なので、移動時間は合計2時間30分となります。

(3)難易度:★★☆☆☆

PとQが11時にP地点を出発しQ地点に向かった場合の各時点におけるP地点からの距離を表にすると以下の通りです。

時刻11時12時13時14時15時
AP間の距離
(km)
10223740
(Q)
BP間の距離
(km)
15283840
(Q)

これを見ると、AがBに追いつくとすれば14時~15時の間であることが分かります。

14時の時点で、AはBの1km後ろから追いかけていることになりますから、追い付くまでにかかる時間は、

1÷(18-7)=\frac{1}{11}(時間)

このとき、AとP地点の間の距離は、

37+18×\frac{1}{11}=38\frac{7}{11}(km)

(4)難易度:★★★★

(3)より、11時~14時の間移動すると、Aは37km、Bは38km移動することが分かります。

よって、Aは残り3km、Bは残り2kmを移動します。

11時に同時にP地点を出発し、Aが残りの3kmを14時~15時の間で移動するとすると、
3÷18=\frac{10}{60}(時間)→10(分)
かかります。

このとき、BとP地点の距離は、
38+7×\frac{10}{60}=39\frac{1}{6}(km)

なので、この時点でBはQ地点まであと\frac{5}{6}kmのところにいることが分かります。

ここで、仮にAが11時よりも1分早く出発することを考えます。すると、14時~15時の間の移動時間は、1×\frac{8}{18}\frac{4}{9}分減少します。

このとき、Bの移動距離がどのように変化するかを考えます。 10時~11時の間の移動時間が1分増加し、14時~15時の間で移動する時間が\frac{4}{9}分減少するから、
増加:17×\frac{1}{60}\frac{17}{60}(km)
減少:7×\frac{4}{9}÷60= \frac{7}{135}(km)
よって、以下の距離だけ、Bの移動距離は増加します。
\frac{17}{60}\frac{7}{135}\frac{153-28}{540}\frac{25}{108}(km)

つまり、11時から出発を1分早めると、AがQ地点に到着するまでのBの移動距離は、\frac{25}{108}km増加し、そのぶん、その時点でのAB間の距離が縮むということです。このように出発時間を変化させて\frac{5}{6}kmの差がなくなるとき、BはAと同時にQ地点に到着することになります。

よって、
\frac{5}{6}÷\frac{25}{108}\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}(分)
だけ出発を早めればよいことになります。

よって、出発時間は、
11時-3\frac{3}{5}分=10時56\frac{2}{5}

  

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