西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は須磨学園中学校の過去問です。
もくじ
１ 計算問題
解説は省略します。
２ 小問集合
解説は省略します。
３ 使える数字の限られた数列
「使える数字の限られた数列」についての問題です。（１）（３）（４）は４けたの数と１～３けたの数を分けて考えることでスッキリと解けるでしょう。
（１）難易度：★☆☆☆☆
まず１～３けたの数について考えます。
１～３けたの数は一の位、十の位、百の位に０、２、５の３つの数字を入れてできる数字の組み合わせなので（５は「００５」、２０は「０２０」という感じで対応させます）その個数は、
３×３×３＝２７（個）
また、２０２０までの４けたの数字を小さい順に並べると、
２０００、２００２、２００５、２０２０
となるので、２０２０は２７＋４＝３１番目となります。
（２）難易度：★★★☆☆
１けたの数で、０を含む数は０のみです。
２けたの数で、０を含む数は２０と５０の２つです。
３けたの数で、０を含む数は２００、２０２、２０５、２２０、２５０、５００、５０２、５０５、５２０、５５０の１０個です。
４けたの数は、４つ全て０を含みます。
よって、２０２０までの０を含む数の個数は、
１＋２＋１０＋４＝１７（個）
（３）難易度：★★☆☆☆
まず１～３けたの数について考えます。
百の位に２が出現する回数は、一の位と十の位の組み合わせの数に等しいので、
３×３＝９（回）
同じように考えると、十の位に２が出現する回数も、一の位に２が出現する回数も９回であることが分かります。
よって、１～３けたの数について２が出現する回数は、
９＋９＋９＝２７（回）
４けたの数については、
２０００、２００２、２００５、２０２０
の６回なので、２０２０までに２の出現する回数は、
２７＋６＝３３（回）
（４）難易度：★★★☆☆
これも、まず１～３けたの数について考えます。
（３）の考え方を使うと、次のことが分かります。
・百の位に２が出現する回数→９回
・十の位に２が出現する回数→９回
・一の位に２が出現する回数→９回
・百の位に５が出現する回数→９回
・十の位に５が出現する回数→９回
・一の位に５が出現する回数→９回
よって、１～３けたの数の和は、以下のように計算できます。
２００×９＋２０×９＋２×９＋５００×９＋５０×９＋５×９
＝（２００＋２０＋２＋５００＋５０＋５）×９
＝７７７×９
＝６９９３
これに４けたの数を加えると、
６９９３＋２０００＋２００２＋２００５＋２０２０＝１５０２０
４ 容器と水面の高さ
「容器と水面の高さ」についての問題です。このタイプの問題としては難易度は易～標準です。
（１）難易度：★★☆☆☆
水の入っていない部分の体積を利用して考えます。
図２から、辺ＡＦから水面までの長さは１０－６＝４ｃｍなので、水の入っていない部分の体積は、４×１０×１０＝４００㎤
図３から、辺ＥＤから水面までの長さは１０ー５＝５ｃｍで、辺ＥＤの長さは□ｃｍと等しいので、水の入っていない部分の体積を計算すると、
□×５×１０＝４００㎤
なので、□＝４００÷（５×１０）＝８（ｃｍ）
（２）難易度：★☆☆☆☆
図２の斜線部を底面積として、高さが１０ｃｍの柱体の体積を計算します。
（６×１０＋８×１４）×１０＝１７２０（㎤）
（３）難易度：★★☆☆☆
水の体積と水の入っていない部分の体積の比は、
１７２０：４００＝４３：１０
よって、ＡＢＣＤＥＦを底面としたとき、 水面の高さと体積と水の入っていない部分の高さの比も４３：１０となります。よって、このときの水面の高さは、
１０×\frac{４３}{４３＋１０}＝\frac{４３０}{５３}（ｃｍ）
（４）難易度：★★★☆☆
（１）より、水の入っていない部分の体積が４００㎤、つまり底面積の白い部分が４０㎠となるものを選べば良いことになります。
まず、下図の黄色の三角形は直角二等辺三角形ですので、この容器は４５°傾いて置かれていることになります。よって水の入っていない部分の三角形も、すべて直角二等辺三角形であることが分かります。
（イ）の状態では、２つの白い三角形の面積の和は、
８×８× \frac{１}{２}＋６×６×\frac{１}{２}＝５０（㎠）
なので、広すぎます。よって（イ）よりも水面は上であることが分かります。
（エ）の状態では、少なくとも水は点Ｂまできているので、白い直角三角形の直角をはさむ一辺の長さは２ｃｍ以下であることが分かります。上図のように水面の高さがちょうど点Ｂの高さと同じ場合、白い三角形の面積は、
２×２×\frac{１}{２}＝２（㎠）
となり、せますぎます。よって、水面は点Ｂよりも下であり、白い三角形は２つになることが分かります。
以上より、（ウ）が適切であると分かります。
５ 時間帯によって変化する速度
「時間帯によって変化する速度」の問題です。（４）だけ、ずば抜けて難易度が高く、計算量も多いです。残り時間にもよりますが、（１）～（３）を確実に解答して（４）はあきらめ、他の問題の見直しに時間をあてるのが得策といえるでしょう。
（１）難易度：★☆☆☆☆
１０時～１１時、１１時～１２時、１２時～１３時、１３時～１３時４０分の間にそれぞれどれだけの距離を移動したのかを求め、足していきます。
８＋１０＋１２＋１５×\frac{４０}{６０}＝４０（ｋｍ）
（２）難易度：★★☆☆☆
速度の大きい時間帯を優先的に使うことを考えます。
速度が一番大きいのは、１４時～１５時で１８ｋｍ/時、二番目が１３時～１４時で１５ｋｍ/時となっているので、この２時間で１８＋１５＝３３ｋｍ移動します。
残りの７ｋｍは隣接する時間帯の１２時～１３時か、１５時～１６時で移動するのですが、より速度の大きい１５時～１６時で移動することを選びます。
７÷１４＝０.５（時間）→３０（分）
なので、移動時間は合計２時間３０分となります。
（３）難易度：★★☆☆☆
ＰとＱが１１時にＰ地点を出発しＱ地点に向かった場合の各時点におけるＰ地点からの距離を表にすると以下の通りです。
| 時刻 | １１時 | １２時 | １３時 | １４時 | １５時 |
| ＡＰ間の距離 （ｋｍ） | ０ | １０ | ２２ | ３７ | ４０ （Ｑ） |
| ＢＰ間の距離 （ｋｍ） | ０ | １５ | ２８ | ３８ | ４０ （Ｑ） |
これを見ると、ＡがＢに追いつくとすれば１４時～１５時の間であることが分かります。
１４時の時点で、ＡはＢの１ｋｍ後ろから追いかけていることになりますから、追い付くまでにかかる時間は、
１÷（１８－７）＝\frac{１}{１１}（時間）
このとき、ＡとＰ地点の間の距離は、
３７＋１８×\frac{１}{１１}＝３８\frac{７}{１１}（ｋｍ）
（４）難易度：★★★★★
（３）より、１１時～１４時の間移動すると、Ａは３７ｋｍ、Ｂは３８ｋｍ移動することが分かります。
よって、Ａは残り３ｋｍ、Ｂは残り２ｋｍを移動します。
１１時に同時にＰ地点を出発し、Ａが残りの３ｋｍを１４時～１５時の間で移動するとすると、
３÷１８＝\frac{１０}{６０}（時間）→１０（分）
かかります。
このとき、ＢとＰ地点の距離は、
３８＋７×\frac{１０}{６０}＝３９\frac{１}{６}（ｋｍ）
なので、この時点でＢはＱ地点まであと\frac{５}{６}ｋｍのところにいることが分かります。
ここで、仮にＡが１１時よりも１分早く出発することを考えます。すると、１４時～１５時の間の移動時間は、１×\frac{８}{１８}＝\frac{４}{９}分減少します。
このとき、Ｂの移動距離がどのように変化するかを考えます。 １０時～１１時の間の移動時間が１分増加し、１４時～１５時の間で移動する時間が\frac{４}{９}分減少するから、
増加：１７×\frac{１}{６０}＝\frac{１７}{６０}（ｋｍ）
減少：７×\frac{４}{９}÷６０= \frac{７}{１３５}（ｋｍ）
よって、以下の距離だけ、Ｂの移動距離は増加します。
\frac{１７}{６０}－\frac{７}{１３５}＝ \frac{１５３－２８}{５４０}＝\frac{２５}{１０８}（ｋｍ）
つまり、１１時から出発を１分早めると、ＡがＱ地点に到着するまでのＢの移動距離は、\frac{２５}{１０８}ｋｍ増加し、そのぶん、その時点でのＡＢ間の距離が縮むということです。このように出発時間を変化させて\frac{５}{６}ｋｍの差がなくなるとき、ＢはＡと同時にＱ地点に到着することになります。
よって、
\frac{５}{６}÷\frac{２５}{１０８}＝\frac{１８}{５}＝３\frac{３}{５}（分）
だけ出発を早めればよいことになります。
よって、出発時間は、
１１時－３\frac{３}{５}分＝１０時５６\frac{２}{５}分
