【須磨学園中学過去問解説】2020年度 算数 第3回

西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は須磨学園中学校の過去問です。

1 計算問題

解説は省略します。

2 小問集合

解説は省略します。

3 使える数字の限られた数列

「使える数字の限られた数列」についての問題です。(1)(3)(4)は4けたの数と1~3けたの数を分けて考えることでスッキリと解けるでしょう。

(1)難易度:★☆☆☆☆

まず1~3けたの数について考えます。

1~3けたの数は一の位、十の位、百の位に0、2、5の3つの数字を入れてできる数字の組み合わせなので(5は「005」、20は「020」という感じで対応させます)その個数は、

3×3×3=27(個)

また、2020までの4けたの数字を小さい順に並べると、

2000、2002、2005、2020

となるので、2020は27+4=31番目となります。

(2)難易度:★★★☆☆

1けたの数で、0を含む数は0のみです。

2けたの数で、0を含む数は20と50の2つです。

3けたの数で、0を含む数は200、202、205、220、250、500、502、505、520、550の10個です。

4けたの数は、4つ全て0を含みます。

よって、2020までの0を含む数の個数は、

1+2+10+4=17(個)

(3)難易度:★★☆☆☆

まず1~3けたの数について考えます。

百の位に2が出現する回数は、一の位と十の位の組み合わせの数に等しいので、

3×3=9(回)

同じように考えると、十の位に2が出現する回数も、一の位に2が出現する回数も9回であることが分かります。

よって、1~3けたの数について2が出現する回数は、

9+9+9=27(回)

4けたの数については、

000、00005、

の6回なので、2020までに2の出現する回数は、

27+6=33(回)

(4)難易度:★★★☆☆

これも、まず1~3けたの数について考えます。

(3)の考え方を使うと、次のことが分かります。

・百の位に2が出現する回数→9回
・十の位に2が出現する回数→9回
・一の位に2が出現する回数→9回

・百の位に5が出現する回数→9回
・十の位に5が出現する回数→9回
・一の位に5が出現する回数→9回

よって、1~3けたの数の和は、以下のように計算できます。

200×9+20×9+2×9+500×9+50×9+5×9
=(200+20+2+500+50+5)×9
=777×9
=6993

これに4けたの数を加えると、

6993+2000+2002+2005+2020=15020

 

4 容器と水面の高さ

「容器と水面の高さ」についての問題です。このタイプの問題としては難易度は易~標準です。

(1)難易度:★★☆☆☆

水の入っていない部分の体積を利用して考えます。

図2から、辺AFから水面までの長さは10-6=4cmなので、水の入っていない部分の体積は、4×10×10=400㎤

図3から、辺EDから水面までの長さは10ー5=5cmで、辺EDの長さは□cmと等しいので、水の入っていない部分の体積を計算すると、

□×5×10=400㎤

なので、□=400÷(5×10)=8(cm)

(2)難易度:★☆☆☆☆

図2の斜線部を底面積として、高さが10cmの柱体の体積を計算します。

(6×10+8×14)×10=1720(㎤)

(3)難易度:★★☆☆☆

水の体積と水の入っていない部分の体積の比は、

1720:400=43:10

よって、ABCDEFを底面としたとき、 水面の高さと体積と水の入っていない部分の高さの比も43:10となります。よって、このときの水面の高さは、

10×\frac{43}{43+10}\frac{430}{53}(cm)

(4)難易度:★★★☆☆

(1)より、水の入っていない部分の体積が400㎤、つまり底面積の白い部分が40㎠となるものを選べば良いことになります。

まず、下図の黄色の三角形は直角二等辺三角形ですので、この容器は45°傾いて置かれていることになります。よって水の入っていない部分の三角形も、すべて直角二等辺三角形であることが分かります。

傾けた容器と水1

(イ)の状態では、2つの白い三角形の面積の和は、
8×8× \frac{1}{2}+6×6×\frac{1}{2}=50(㎠)
なので、広すぎます。よって(イ)よりも水面は上であることが分かります。

傾けた容器と水2

(エ)の状態では、少なくとも水は点Bまできているので、白い直角三角形の直角をはさむ一辺の長さは2cm以下であることが分かります。上図のように水面の高さがちょうど点Bの高さと同じ場合、白い三角形の面積は、
2×2×\frac{1}{2}=2(㎠)

となり、せますぎます。よって、水面は点Bよりも下であり、白い三角形は2つになることが分かります。

以上より、(ウ)が適切であると分かります。 

 

5 時間帯によって変化する速度

「時間帯によって変化する速度」の問題です。(4)だけ、ずば抜けて難易度が高く、計算量も多いです。残り時間にもよりますが、(1)~(3)を確実に解答して(4)はあきらめ、他の問題の見直しに時間をあてるのが得策といえるでしょう。

(1)難易度:★☆☆☆☆

10時~11時、11時~12時、12時~13時、13時~13時40分の間にそれぞれどれだけの距離を移動したのかを求め、足していきます。

8+10+12+15×\frac{40}{60}=40(km)

(2)難易度:★★☆☆☆

速度の大きい時間帯を優先的に使うことを考えます。

速度が一番大きいのは、14時~15時で18km/時、二番目が13時~14時で15km/時となっているので、この2時間で18+15=33km移動します。

残りの7kmは隣接する時間帯の12時~13時か、15時~16時で移動するのですが、より速度の大きい15時~16時で移動することを選びます。

7÷14=0.5(時間)→30(分)

なので、移動時間は合計2時間30分となります。

(3)難易度:★★☆☆☆

PとQが11時にP地点を出発しQ地点に向かった場合の各時点におけるP地点からの距離を表にすると以下の通りです。

時刻11時12時13時14時15時
AP間の距離
(km)
10223740
(Q)
BP間の距離
(km)
15283840
(Q)

これを見ると、AがBに追いつくとすれば14時~15時の間であることが分かります。

14時の時点で、AはBの1km後ろから追いかけていることになりますから、追い付くまでにかかる時間は、

1÷(18-7)=\frac{1}{11}(時間)

このとき、AとP地点の間の距離は、

37+18×\frac{1}{11}=38\frac{7}{11}(km)

(4)難易度:★★★★

(3)より、11時~14時の間移動すると、Aは37km、Bは38km移動することが分かります。

よって、Aは残り3km、Bは残り2kmを移動します。

11時に同時にP地点を出発し、Aが残りの3kmを14時~15時の間で移動するとすると、
3÷18=\frac{10}{60}(時間)→10(分)
かかります。

このとき、BとP地点の距離は、
38+7×\frac{10}{60}=39\frac{1}{6}(km)

なので、この時点でBはQ地点まであと\frac{5}{6}kmのところにいることが分かります。

ここで、仮にAが11時よりも1分早く出発することを考えます。すると、14時~15時の間の移動時間は、1×\frac{8}{18}\frac{4}{9}分減少します。

このとき、Bの移動距離がどのように変化するかを考えます。 10時~11時の間の移動時間が1分増加し、14時~15時の間で移動する時間が\frac{4}{9}分減少するから、
増加:17×\frac{1}{60}\frac{17}{60}(km)
減少:7×\frac{4}{9}÷60= \frac{7}{135}(km)
よって、以下の距離だけ、Bの移動距離は増加します。
\frac{17}{60}\frac{7}{135}\frac{153-28}{540}\frac{25}{108}(km)

つまり、11時から出発を1分早めると、AがQ地点に到着するまでのBの移動距離は、\frac{25}{108}km増加し、そのぶん、その時点でのAB間の距離が縮むということです。このように出発時間を変化させて\frac{5}{6}kmの差がなくなるとき、BはAと同時にQ地点に到着することになります。

よって、
\frac{5}{6}÷\frac{25}{108}\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}(分)
だけ出発を早めればよいことになります。

よって、出発時間は、
11時-3\frac{3}{5}分=10時56\frac{2}{5}

  

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