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【須磨学園中学過去問解説】2020年度 算数 第2回 大問4

須磨学園中過去問 2020年度 算数 第2回 大問4

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFを見てください。そしてまず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

「立体の切断と体積」に関する問題です。立法体の切断じたいはシンプルなのですが、四面体がどう切られるかを考えるのは少し難しいかもしれません。

(1)難易度:★☆☆☆☆

四面体ACFHは立方体ABCD-EFGHから、すみっこにある三角すいを4つ切り取ったものです。

切り取られる三角すい

たとえば、上記の黒実線の三角すいCFGHの体積は、
6×6×\frac{1}{2}×6×\frac{1}{3}=36(㎤)

よって四面体ACFHの体積は、

6×6×6-36×4=72(㎤)

(2)難易度:★★★☆☆

点J、K、Lを通る平面で切ると、切断面は三角形となります。この頂点を下図のようにそれぞれ点O、P、Qとします。

立体の切断面1

切断したときにできる小さい方の立体は四面体ACFHと相似な四面体です。立方体の1面である正方形BCGFを取り出すと、下図のようになります。

正方形1

正方形の対角線は真ん中で交わりますので、CP:CF=1:4となり、同じように考えて、CQ:CA=CO:CH=1:4となります。

よって、四面体CJKLの体積は、
72×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×\frac{1}{4}\frac{9}{8}(㎤)

大きい方の立体の体積は、
72ー\frac{9}{8}=70\frac{7}{8}

(3)難易度:★★★★☆

点J、K、Lを通る平面で切ると、切断面は三角形となります。この頂点を下図のようにそれぞれ点Q、R、Sとします。

このような断面をかくときは、以下のルールに従います。
①まず同じ平面上にある点を結ぶ
②その直線を延長し、立体の辺の延長と交わる点をマークする
③平行な面にある断面の辺どうしは平行になる

立体の切断面2

(2)と同様に考えて、点Q、R、Sは、それぞれ
AS:AF=AQ:AC=AR:AH=3:4となるような位置にあります。

よって、四面体ASTRの体積は、
72×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}×\frac{3}{4}\frac{243}{8}(㎤)

大きい方の立体の体積は、
72-\frac{243}{8}=41\frac{5}{8}(㎤)

(4)難易度:★★★★☆

点J、K、Lを通る平面で切ると、切断面は三角形となります。この頂点を下図のようにそれぞれ点Q、T、Uとします。

立体の切断面3

ここで、正方形ADHEのある面を取り出します。直線JKと辺ADの延長との交わる点をVとし、直線VNと辺DHの交わる点をWとします。するとDV=CJなので、AD:DV=2:1

正方形2

△VDWと△VANは相似なので、DW:AN=VD:VA=1:3

DW:DH=DW:AN×2=1:6だから、DW:HW=1:5

よって、AN:HW=3:5

△TANと△THWも相似なので、TA:TH=AN:HW=3:5
だから、AT:AH=3:8

同じように考えて、AU:AF=3:8

よって、四面体AQTUの体積は、
72×\frac{3}{4}×\frac{3}{8}×\frac{3}{8}\frac{243}{32}(㎤)

大きい方の立体の体積は、
72-\frac{243}{32}=64\frac{13}{32}(㎤)

 

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