西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は須磨学園中学校の過去問です。
（本年の過去問は、学校による公開は終了しています。 ）
もくじ
１ 計算問題
解説は省略します。
２ 小問集合
解説は省略します。
３ 旅人算とダイヤグラム
「旅人算とダイヤグラム」についての問題です。具体的な距離や速さの数値がなくても解けるタイプの問題です。距離のかわりに、\frac{１}{１０}周などを一つの単位に用いて考えることがポイントです。
まずＡ、Ｂそれぞれの速さについて整理すると、
Ａは休憩なしだと１０分で１周するので、毎分\frac{１}{１０}周と表せます。
Ｂは休憩なしだと２０分で１周するので、毎分\frac{１}{２０}周と表せます。
また、休憩ありだとＡは１５分で１周、Ｂは２５分で１周しています。よって、ＡとＢが同時にＰを出発してから７５分後に、また同時にＰを出発することが分かります。
よって、下図のように７５分以降のダイヤグラムは０分からの繰り返しとなります。
（１）難易度：★☆☆☆☆
ダイヤグラムから、５０分までに線の交わった場所を数えると、５カ所（０分は数えない）なので出会った回数は５回です。
（２）難易度：★★★☆☆
ダイヤグラムを見ると３回目に出会ったのは２５分と３０分の間で、２５分の時点でＡとＢは\frac{１}{２}周ぶん離れています。この後、ＡＢが向かい合って進むので、３回目に出会うのは
２５＋\frac{１}{２}÷（ \frac{１}{１０}＋\frac{１}{２０}）＝２８\frac{１}{３}（分）＝２８分２０秒
（３）難易度：★★★★☆
ダイヤグラムを見ると、７５分にＡとＢが同時にＰを出発したとき、８回目に出会っていることになります。よって、１０回目に出会う時間は２回目に出会う時間を求め、７５分を加えればよいことが分かります。
２回目に出会ったのは１５分と２０分の間で、１５分の時点でＡとＢは\frac{１}{４}周ぶん離れています。この後、ＡＢが向かい合って進むので、２回目に出会うのは
１５＋\frac{１}{４}÷（ \frac{１}{１０}＋\frac{１}{２０}）＝１６\frac{２}{３}（分）＝１６分４０秒
よって、１０回目に出会うのは、
７５＋１６\frac{２}{３}＝ ９１\frac{２}{３}（分）＝９１分４０秒
（４）難易度：★★★★☆
ＡとＢが逆向きに進んでいたときと同じく、同じ方向に進む場合もＡとＢが同時にＰを出発してから７５分後に、また同時にＰを出発します。
ダイヤグラムを見ると、１０分にＡがＢに追いついていることが分かります。また、７５分のあとは同じグラフが繰り返され、１周期ごとに１回追いつくので、３回目に出会うのは、
７５＋７５＋１０＝１６０（分）
解答らんに合わせて１６０分００秒
４ 立体の切断と体積
「立体の切断と体積」に関する問題です。立法体の切断じたいはシンプルなのですが、四面体がどう切られるかを考えるのは少し難しいかもしれません。
（１）難易度：★☆☆☆☆
四面体ＡＣＦＨは立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨから、すみっこにある三角すいを４つ切り取ったものです。
たとえば、上記の黒実線の三角すいＣＦＧＨの体積は、
６×６×\frac{１}{２}×６×\frac{１}{３}＝３６（㎤）
よって四面体ＡＣＦＨの体積は、
６×６×６－３６×４＝７２（㎤）
（２）難易度：★★★☆☆
点Ｊ、Ｋ、Ｌを通る平面で切ると、切断面は三角形となります。この頂点を下図のようにそれぞれ点Ｏ、Ｐ、Ｑとします。
切断したときにできる小さい方の立体は四面体ＡＣＦＨと相似な四面体です。立方体の１面である正方形ＢＣＧＦを取り出すと、下図のようになります。
正方形の対角線は真ん中で交わりますので、ＣＰ：ＣＦ＝１：４となり、同じように考えて、ＣＱ：ＣＡ＝ＣＯ：ＣＨ＝１：４となります。
よって、四面体ＣＪＫＬの体積は、
７２×\frac{１}{４}×\frac{１}{４}×\frac{１}{４}＝\frac{９}{８}（㎤）
大きい方の立体の体積は、
７２ー\frac{９}{８}＝７０\frac{７}{８}
（３）難易度：★★★★☆
点Ｊ、Ｋ、Ｌを通る平面で切ると、切断面は三角形となります。この頂点を下図のようにそれぞれ点Ｑ、Ｒ、Ｓとします。
このような断面をかくときは、以下のルールに従います。
①まず同じ平面上にある点を結ぶ
②その直線を延長し、立体の辺の延長と交わる点をマークする
③平行な面にある断面の辺どうしは平行になる
（２）と同様に考えて、点Ｑ、Ｒ、Ｓは、それぞれ
ＡＳ：ＡＦ＝ＡＱ：ＡＣ＝ＡＲ：ＡＨ＝３：４となるような位置にあります。
よって、四面体ＡＳＴＲの体積は、
７２×\frac{３}{４}×\frac{３}{４}×\frac{３}{４}＝\frac{２４３}{８}（㎤）
大きい方の立体の体積は、
７２－\frac{２４３}{８}＝４１\frac{５}{８}（㎤）
（４）難易度：★★★★☆
点Ｊ、Ｋ、Ｌを通る平面で切ると、切断面は三角形となります。この頂点を下図のようにそれぞれ点Ｑ、Ｔ、Ｕとします。
ここで、正方形ＡＤＨＥのある面を取り出します。直線ＪＫと辺ＡＤの延長との交わる点をＶとし、直線ＶＮと辺ＤＨの交わる点をＷとします。するとＤＶ＝ＣＪなので、ＡＤ：ＤＶ＝２：１
△ＶＤＷと△ＶＡＮは相似なので、ＤＷ：ＡＮ＝ＶＤ：ＶＡ＝１：３
ＤＷ：ＤＨ＝ＤＷ：ＡＮ×２＝１：６だから、ＤＷ：ＨＷ＝１：５
よって、ＡＮ：ＨＷ＝３：５
△ＴＡＮと△ＴＨＷも相似なので、ＴＡ：ＴＨ＝ＡＮ：ＨＷ＝３：５
だから、ＡＴ：ＡＨ＝３：８
同じように考えて、ＡＵ：ＡＦ＝３：８
よって、四面体ＡＱＴＵの体積は、
７２×\frac{３}{４}×\frac{３}{８}×\frac{３}{８}＝\frac{２４３}{３２}（㎤）
大きい方の立体の体積は、
７２－\frac{２４３}{３２}＝６４\frac{１３}{３２}（㎤）
５ 玉の分け方
「玉の分け方」に関する問題です。箱に入る玉の数の樹形図を正確にかき、重複と漏れのないように数えることが大事です。また、（３）（４）は設問の条件を正確に読み取る読解力が問われます。
（１）難易度：★★★☆☆
１番多くの玉が入っている箱に何個入っているかで整理し、樹形図にして数えます。
以上より、１＋１＋２＋３＋５＋６＋７＋４＋１＝３０通り
（２）難易度：★★★☆☆
上の樹形図から「玉の入っている箱について、各箱の中に入っている玉の個数がどの２つの箱についても異なる入れ方」つまり玉の個数が全部異なる入れ方をピックアップすると下図の赤字で、合計８通りとなります。
（３）難易度：★★☆☆☆
「同じ個数の玉が入っている２つの箱の中身を１つの箱にまとめる」ので…
（５,１,１,１,１）は１回目の【操作】で（５,２,２）となり、２回目の【操作】で（５,４）となります。
（４）難易度：★★☆☆☆
【操作】を逆にすると、偶数はその\frac{１}{２}の数２つに分かれます。
よって（４,３,２）は１回目の【逆操作】で（２,２,３,１,１）で順序を整理すると（３,２,２,１,１）となり、２回目の【逆操作】で（３,１,１,１,１,１,１）となります。
