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【須磨学園中学過去問解説】2020年度 算数 第1回 大問3

須磨学園中過去問 2020年度 算数 第1回 大問3

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFを見てください。そしてまず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

図形のぬり分け方についての問題です。重なるぬり方を除外するのはかなり難しく、もれなく重複なく数えるのは大変です。

まず、8つの正方形について、下図のように表面(あ)(い)(う)(え)裏面(お)(か)(き)(く)と名付けます。

(1) 難易度:★★☆☆☆

(ア)表面の4か所を2色どちらも用いるぬり方には、

(ⅰ)青1か所、赤3か所
(ⅱ)青2か所、赤2か所
(ⅲ)青3か所、赤1か所

の3通りがあります。

(ⅰ)青1か所、赤3か所の場合、下図の4通りがぬり方ありますが、これは回転するとすべて同じぬり方になるので、1通りです。

(ⅱ)青2か所、赤2か所の場合、下図の6通りがぬり方ありますが、上段の4つのぬり方と下段の2つのぬり方は回転するとそれぞれ同じぬり方になるので、2通りです。

(ⅲ)青3か所、赤1か所の場合、(ⅰ)の青と赤を入れ替えたぬり方なので、同様に考えて1通りです。

(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より、合計1+2+1=4通りです。

(イ)この問題には「3色すべてを用いる」と書いていないので、1色のみ、2色のみもあわせて数えないといけない点に注意です。

(ⅰ)1色のみ用いる場合、3通り。

(ⅱ)2色のみ用いる場合、(ア)と同じですが、色の組み合わせが3通り(青と赤、赤と黄、黄と青)あるので、4×3=12通り

(ⅲ)青、赤、黄の3色すべてを用いる場合、3色のうち2色を1か所、1色を2か所にぬることになります。

仮に、2か所にぬる色を黄色にすると、下図の18通りがぬり方ありますが、上段、中断、下段のそれぞれ4つのぬり方は回転すると同じぬり方になるので、3通りです。

同様に、青2か所、赤2か所の場合も考えられます。よって、青、赤、黄の3色すべてを用いてぬる方法は合計3×3=9通り

(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より、赤、青、黄の3色が使える場合のぬり方は3+12+9=24通り

(2)難易度:★★★★☆

(ウ) 青を7か所と赤を1か所でぬるぬり方

(あ)~(く)のどの正方形に赤をぬったとしても、ひっくり返す、回転するという操作を加えれば(あ)の位置に赤をもってくることができます。よって、青を7か所、赤を1か所ぬるぬり方は1通りです。

(エ)青を6か所と赤を2か所でぬるぬり方

まず、2か所の赤が同じ面にあるぬり方は(ア)の(ⅱ)より、2通りです。

また、2か所の赤が異なる面にあるぬり方について考えます。
(あ)を赤で固定すると、(お)(か)(き)(く)のうち1か所を赤で塗ることになり、これらは回転によって重ねることができません。よって、2か所の赤が異なる面にあるぬり方は4通りです。

以上より、青を6か所と赤を2か所でぬるぬり方はあわせて6通りです。

(オ)青を3か所と赤を5か所でぬるぬり方

まず、3か所の赤が同じ面にあるぬり方は(ア)の(ⅰ)より、1通りです。

また、赤が異なる面にあるぬり方について考えます。
表面の1か所、裏面の2か所に赤をぬることにします。(あ)を赤で固定すると、(お)(か)(き)(く)のうち2か所を赤で塗ることになります。これらは回転によって重ねることができません。

表面の2か所、裏面の1か所に赤をぬる場合も、上図のいずれかと重なるので、3か所の赤が異なる面にあるぬり方は6通りです。

以上より、青を5か所と赤を3か所でぬるぬり方はあわせて7通りです。

(カ)青を4か所と赤を4か所でぬるぬり方

(ⅰ)4か所の赤が同じ面にあるぬり方は、1通りです。

(ⅱ)表面の1か所、裏面の3か所に赤をぬる場合を考えます。
(あ)を赤で固定すると、(お)(か)(き)(く)のうち3か所を赤でぬることになり、全部で4通りあります。これらは回転によって重ねることができません。

(ⅲ)表面の3か所、裏面の1か所に赤をぬる場合は、裏返すとすべて上図(ⅱ)のいずれかと重なるので、数えません。

(ⅳ)表面の2か所、裏面の2か所に赤をぬる場合はかなり複雑です。1つの面の4つ正方形のうち2つをぬるパターンを「となりパターン」と「ななめパターン」に分けます。すると「となりパターン」と「となりパターン」、「となりパターン」と「ななめパターン」、「ななめパターン」と「ななめパターン」に分けられます。

・「となりパターン」と「となりパターン」

表面の(あ)(い)を赤色で固定すると、下図の4通りとなります。

・「となりパターン」と「ななめパターン」

表面の(あ)(い)を赤色で固定すると、下図の2通りとなります。

・「ななめパターン」と「ななめパターン」

表面の(あ)(え)を赤色で固定すると、下図の2通りとなります。

以上より、 表面の2か所、裏面の2か所に赤をぬるぬり方は全部で8通りとなります。

(ⅰ)~(ⅳ)より、青を4か所と赤を4か所でぬるぬり方は、
1+4+8=13通り

(キ)青1色のみ、赤1色のみでぬるぬり方はそれぞれ1通りずつです。
また、青と赤を入れ替えた場合のぬり方の数は同じになります。よって、(ウ)(エ)(オ)(カ)より、2色でのぬり方の合計は、

1+1+6+7+13+7+6+1+1=43(通り)

 

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