【須磨学園中学過去問解説】2020年度 算数 第1回

西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は須磨学園中学校の過去問です。

(本年の過去問は、学校による公開は終了しています。)

1 計算問題

解説は省略します。

2 小問集合

解説は省略します。

3 図形のぬり分け方

図形のぬり分け方についての問題です。重なるぬり方を除外するのはかなり難しく、もれなく重複なく数えるのは大変です。

まず、8つの正方形について、下図のように表面(あ)(い)(う)(え)裏面(お)(か)(き)(く)と名付けます。

(1) 難易度:★★☆☆☆

(ア)表面の4か所を2色どちらも用いるぬり方には、

(ⅰ)青1か所、赤3か所
(ⅱ)青2か所、赤2か所
(ⅲ)青3か所、赤1か所

の3通りがあります。

(ⅰ)青1か所、赤3か所の場合、下図の4通りがぬり方ありますが、これは回転するとすべて同じぬり方になるので、1通りです。

(ⅱ)青2か所、赤2か所の場合、下図の6通りがぬり方ありますが、上段の4つのぬり方と下段の2つのぬり方は回転するとそれぞれ同じぬり方になるので、2通りです。

(ⅲ)青3か所、赤1か所の場合、(ⅰ)の青と赤を入れ替えたぬり方なので、同様に考えて1通りです。

(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より、合計1+2+1=4通りです。

(イ)この問題には「3色すべてを用いる」と書いていないので、1色のみ、2色のみもあわせて数えないといけない点に注意です。

(ⅰ)1色のみ用いる場合、3通り。

(ⅱ)2色のみ用いる場合、(ア)と同じですが、色の組み合わせが3通り(青と赤、赤と黄、黄と青)あるので、4×3=12通り

(ⅲ)青、赤、黄の3色すべてを用いる場合、3色のうち2色を1か所、1色を2か所にぬることになります。

仮に、2か所にぬる色を黄色にすると、下図の18通りがぬり方ありますが、上段、中断、下段のそれぞれ4つのぬり方は回転すると同じぬり方になるので、3通りです。

同様に、青2か所、赤2か所の場合も考えられます。よって、青、赤、黄の3色すべてを用いてぬる方法は合計3×3=9通り

(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)より、赤、青、黄の3色が使える場合のぬり方は3+12+9=24通り

(2)難易度:★★★★☆

(ウ) 青を7か所と赤を1か所でぬるぬり方

(あ)~(く)のどの正方形に赤をぬったとしても、ひっくり返す、回転するという操作を加えれば(あ)の位置に赤をもってくることができます。よって、青を7か所、赤を1か所ぬるぬり方は1通りです。

(エ)青を6か所と赤を2か所でぬるぬり方

まず、2か所の赤が同じ面にあるぬり方は(ア)の(ⅱ)より、2通りです。

また、2か所の赤が異なる面にあるぬり方について考えます。
(あ)を赤で固定すると、(お)(か)(き)(く)のうち1か所を赤で塗ることになり、これらは回転によって重ねることができません。よって、2か所の赤が異なる面にあるぬり方は4通りです。

以上より、青を6か所と赤を2か所でぬるぬり方はあわせて6通りです。

(オ)青を3か所と赤を5か所でぬるぬり方

まず、3か所の赤が同じ面にあるぬり方は(ア)の(ⅰ)より、1通りです。

また、赤が異なる面にあるぬり方について考えます。
表面の1か所、裏面の2か所に赤をぬることにします。(あ)を赤で固定すると、(お)(か)(き)(く)のうち2か所を赤で塗ることになります。これらは回転によって重ねることができません。

表面の2か所、裏面の1か所に赤をぬる場合も、上図のいずれかと重なるので、3か所の赤が異なる面にあるぬり方は6通りです。

以上より、青を5か所と赤を3か所でぬるぬり方はあわせて7通りです。

(カ)青を4か所と赤を4か所でぬるぬり方

(ⅰ)4か所の赤が同じ面にあるぬり方は、1通りです。

(ⅱ)表面の1か所、裏面の3か所に赤をぬる場合を考えます。
(あ)を赤で固定すると、(お)(か)(き)(く)のうち3か所を赤でぬることになり、全部で4通りあります。これらは回転によって重ねることができません。

(ⅲ)表面の3か所、裏面の1か所に赤をぬる場合は、裏返すとすべて上図(ⅱ)のいずれかと重なるので、数えません。

(ⅳ)表面の2か所、裏面の2か所に赤をぬる場合はかなり複雑です。1つの面の4つ正方形のうち2つをぬるパターンを「となりパターン」と「ななめパターン」に分けます。すると「となりパターン」と「となりパターン」、「となりパターン」と「ななめパターン」、「ななめパターン」と「ななめパターン」に分けられます。

・「となりパターン」と「となりパターン」

表面の(あ)(い)を赤色で固定すると、下図の4通りとなります。

・「となりパターン」と「ななめパターン」

表面の(あ)(い)を赤色で固定すると、下図の2通りとなります。

・「ななめパターン」と「ななめパターン」

表面の(あ)(え)を赤色で固定すると、下図の2通りとなります。

以上より、 表面の2か所、裏面の2か所に赤をぬるぬり方は全部で8通りとなります。

(ⅰ)~(ⅳ)より、青を4か所と赤を4か所でぬるぬり方は、
1+4+8=13通り

(キ)青1色のみ、赤1色のみでぬるぬり方はそれぞれ1通りずつです。
また、青と赤を入れ替えた場合のぬり方の数は同じになります。よって、(ウ)(エ)(オ)(カ)より、2色でのぬり方の合計は、

1+1+6+7+13+7+6+1+1=43(通り)

 

4 立体の表面積

立体の表面積に関する問題です。一から計算するのではなく、立方体をくっつけた時に増える面積に注目して計算します。

(1) 難易度:★★☆☆☆

<体積>

1辺8cmの立方体の体積:8×8×8=512(㎤)
1辺4cmの立方体の体積:4×4×4=64(㎤)

よって、立体Pの体積は、512+64×6=896(㎤)

<表面積>

1辺8cmの立方体の表面積:8×8×6=384(㎠)

また、1辺4cmの立方体を1つくっつけることにより増える表面積は、
4×4×4=64(㎠)…①

よって、立体Pの表面積は、
384+64×6=768(㎤)

(2)難易度:★★★☆☆

立体Pにある1辺4cmの正方形の数は、6×5=30(個)なので、30カ所に1辺2cmの立方体がくっつくことになります。

また1辺2cmの立方体を1つくっつけることにより増える表面積は、
2×2×4=16(㎠)

よって、立体Qの表面積は、
768+16×30=1248(㎠)

(3)難易度:★★★☆☆

立体Qにある1辺2cmの正方形の数は、30×5=150(個)なので、150カ所に1辺0.5cmの立方体がくっつくことになります。

また1辺0.5cmの立方体を1つくっつけることにより増える表面積は、
0.5×0.5×4=1(㎠)

よって、立体Qの表面積は、
1248+1×150=1398(㎠)

 

5 ニュートン算

ニュートン算の問題です。ひねりのない問題で、しかもていねいな誘導付きですので全問正解を目指しましょう。

(1) 難易度:★☆☆☆☆

窓口3つでは24分で80人減っているので、60人減らすのにかかる時間は、

24÷\frac{60}{80}=18(分)

(2)難易度:★★☆☆☆

①10 時に60人並んだ状態から「窓口を2つに増やすと10時12分には並んでいる人が80人に増えて」おり、「10時12分に窓口をさらに1つ増やし3つに」すると、「10時36分に待っている人がいなくなりました」とあります。よって、

窓口2つ:12分で20人増える
窓口3つ:24分で80人減る=12分で40人減る

このことから、窓口1つぶんの処理能力は12分で60人つまり1分あたり5人であると分かります。

② ①より、「窓口1つぶんの処理能力は12分で60人」なので、窓口4つで対応すると、12分で100人減ることが分かります。つまり3分で25人減るということです。

③ 3分で25人減るので、60人減らすのにかかる時間は、

3×\frac{60}{25}\frac{36}{5}=7\frac{1}{5}(分)
→7分12秒

 

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