西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は須磨学園中学校の過去問です。
（本年の過去問は、学校による公開は終了しています。）
もくじ
１ 計算問題
解説は省略します。
２ 小問集合
解説は省略します。
３ 図形のぬり分け方
図形のぬり分け方についての問題です。重なるぬり方を除外するのはかなり難しく、もれなく重複なく数えるのは大変です。
まず、８つの正方形について、表面（あ）（い）（う）（え）裏面（お）（か）（き）（く）と名付けます。
（１） 難易度：★★☆☆☆
（ア）表面の４か所を２色どちらも用いるぬり方には、
（ⅰ）青１か所、赤３か所
（ⅱ）青２か所、赤２か所
（ⅲ）青３か所、赤１か所
の３通りがあります。
（ⅰ）青１か所、赤３か所の場合、下図の４通りがぬり方ありますが、これは回転するとすべて同じぬり方になるので、１通りです。
（ⅱ）青２か所、赤２か所の場合、下図の６通りがぬり方ありますが、上段の４つのぬり方と下段の２つのぬり方は回転するとそれぞれ同じぬり方になるので、２通りです。
（ⅲ）青３か所、赤１か所の場合、（ⅰ）の青と赤を入れ替えたぬり方なので、同様に考えて１通りです。
（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）より、合計１＋２＋１＝４通りです。
（イ）この問題には「３色すべてを用いる」と書いていないので、１色のみ、２色のみもあわせて数えないといけない点に注意です。
（ⅰ）１色のみ用いる場合、３通り。
（ⅱ）２色のみ用いる場合、（ア）と同じですが、色の組み合わせが３通り（青と赤、赤と黄、黄と青）あるので、４×３＝１２通り
（ⅲ）青、赤、黄の３色すべてを用いる場合、３色のうち２色を１か所、１色を２か所にぬることになります。
仮に、２か所にぬる色を黄色にすると、下図の１８通りがぬり方ありますが、上段、中断、下段のそれぞれ４つのぬり方は回転すると同じぬり方になるので、３通りです。
同様に、青２か所、赤２か所の場合も考えられます。よって、青、赤、黄の３色すべてを用いてぬる方法は合計３×３＝９通り
（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）より、赤、青、黄の３色が使える場合のぬり方は３＋１２＋９＝２４通り
（２）難易度：★★★★☆
（ウ） 青を７か所と赤を１か所でぬるぬり方
（あ）～（く）のどの正方形に赤をぬったとしても、ひっくり返す、回転するという操作を加えれば（あ）の位置に赤をもってくることができます。よって、青を７か所、赤を１か所ぬるぬり方は１通りです。
（エ）青を６か所と赤を２か所でぬるぬり方
まず、２か所の赤が同じ面にあるぬり方は（ア）の（ⅱ）より、２通りです。
また、２か所の赤が異なる面にあるぬり方について考えます。
（あ）を赤で固定すると、（お）（か）（き）（く）のうち１か所を赤で塗ることになり、これらは回転によって重ねることができません。よって、２か所の赤が異なる面にあるぬり方は４通りです。
以上より、青を６か所と赤を２か所でぬるぬり方はあわせて６通りです。
（オ）青を３か所と赤を５か所でぬるぬり方
まず、３か所の赤が同じ面にあるぬり方は（ア）の（ⅰ）より、１通りです。
また、赤が異なる面にあるぬり方について考えます。
表面の１か所、裏面の２か所に赤をぬることにします。（あ）を赤で固定すると、（お）（か）（き）（く）のうち２か所を赤で塗ることになります。これらは回転によって重ねることができません。
表面の２か所、裏面の１か所に赤をぬる場合も、上図のいずれかと重なるので、３か所の赤が異なる面にあるぬり方は６通りです。
以上より、青を５か所と赤を３か所でぬるぬり方はあわせて７通りです。
（カ）青を４か所と赤を４か所でぬるぬり方
（ⅰ）４か所の赤が同じ面にあるぬり方は、１通りです。
（ⅱ）表面の１か所、裏面の３か所に赤をぬる場合を考えます。
（あ）を赤で固定すると、（お）（か）（き）（く）のうち３か所を赤でぬることになり、全部で４通りあります。これらは回転によって重ねることができません。
（ⅲ）表面の３か所、裏面の１か所に赤をぬる場合は、裏返すとすべて上図（ⅱ）のいずれかと重なるので、数えません。
（ⅳ）表面の２か所、裏面の２か所に赤をぬる場合はかなり複雑です。１つの面の４つ正方形のうち２つをぬるパターンを「となりパターン」と「ななめパターン」に分けます。すると「となりパターン」と「となりパターン」、「となりパターン」と「ななめパターン」、「ななめパターン」と「ななめパターン」に分けられます。
・「となりパターン」と「となりパターン」
表面の（あ）（い）を赤色で固定すると、下図の４通りとなります。
・「となりパターン」と「ななめパターン」
表面の（あ）（い）を赤色で固定すると、下図の２通りとなります。
・「ななめパターン」と「ななめパターン」
表面の（あ）（え）を赤色で固定すると、下図の２通りとなります。
以上より、 表面の２か所、裏面の２か所に赤をぬるぬり方は全部で８通りとなります。
（ⅰ）～（ⅳ）より、青を４か所と赤を４か所でぬるぬり方は、
１＋４＋８＝１３通り
（キ）青１色のみ、赤１色のみでぬるぬり方はそれぞれ１通りずつです。
また、青と赤を入れ替えた場合のぬり方の数は同じになります。よって、（ウ）（エ）（オ）（カ）より、２色でのぬり方の合計は、
１＋１＋６＋７＋１３＋７＋６＋１＋１＝４３（通り）
４ 立体の表面積
立体の表面積に関する問題です。一から計算するのではなく、立方体をくっつけた時に増える面積に注目して計算します。
（１） 難易度：★★☆☆☆
＜体積＞
１辺８ｃｍの立方体の体積：８×８×８＝５１２（㎤）
１辺４ｃｍの立方体の体積：４×４×４＝６４（㎤）
よって、立体Ｐの体積は、５１２＋６４×６＝８９６（㎤）
＜表面積＞
１辺８ｃｍの立方体の表面積：８×８×６＝３８４（㎠）
また、１辺４ｃｍの立方体を１つくっつけることにより増える表面積は、
４×４×４＝６４（㎠）…①
よって、立体Ｐの表面積は、
３８４＋６４×６＝７６８（㎤）
（２）難易度：★★★☆☆
立体Ｐにある１辺４ｃｍの正方形の数は、６×５＝３０（個）なので、３０カ所に１辺２ｃｍの立方体がくっつくことになります。
また１辺２ｃｍの立方体を１つくっつけることにより増える表面積は、
２×２×４＝１６（㎠）
よって、立体Ｑの表面積は、
７６８＋１６×３０＝１２４８（㎠）
（３）難易度：★★★☆☆
立体Ｑにある１辺２ｃｍの正方形の数は、３０×５＝１５０（個）なので、１５０カ所に１辺０.５ｃｍの立方体がくっつくことになります。
また１辺０.５ｃｍの立方体を１つくっつけることにより増える表面積は、
０.５×０.５×４＝１（㎠）
よって、立体Ｑの表面積は、
１２４８＋１×１５０＝１３９８（㎠）
５ ニュートン算
ニュートン算の問題です。ひねりのない問題で、しかもていねいな誘導付きですので全問正解を目指しましょう。
（１） 難易度：★☆☆☆☆
窓口３つでは２４分で８０人減っているので、６０人減らすのにかかる時間は、
２４÷\frac{６０}{８０}＝１８（分）
（２）難易度：★★☆☆☆
①１０ 時に６０人並んだ状態から「窓口を２つに増やすと１０時１２分には並んでいる人が８０人に増えて」おり、「１０時１２分に窓口をさらに１つ増やし３つに」すると、「１０時３６分に待っている人がいなくなりました」とあります。よって、
窓口２つ：１２分で２０人増える
窓口３つ：２４分で８０人減る＝１２分で４０人減る
このことから、窓口１つぶんの処理能力は１２分で６０人つまり１分あたり５人であると分かります。
② ①より、「窓口１つぶんの処理能力は１２分で６０人」なので、窓口４つで対応すると、１２分で１００人減ることが分かります。つまり３分で２５人減るということです。
③ ３分で２５人減るので、６０人減らすのにかかる時間は、
３×\frac{６０}{２５}＝\frac{３６}{５}＝７\frac{１}{５}（分）
→７分１２秒
