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【須磨学園高校過去問解説】2021年度 数学 大問5

須磨学園高校過去問 2021年度 数学 大問4

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFを見てください。そしてまず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

「方程式の解の個数」についての問題です。高校数学では超定番テーマですが、中学数学の範囲では少し難しく感じますね。2次方程式の解の公式の中の ±\scriptsize\sqrt{b²-4ac} がどうなるかが解の個数のポイントになります。また、方程式が2次方程式になるとは限らない、というのも重要です。

(1)難易度:★☆☆☆☆

xの方程式 ax²+bx+c=0…①

「xの方程式」であって、xの2次方程式と書いてあるわけではないことに注意します。もし「2次方程式」と書いてあれば、それはa≠0と書いてあるのと一緒です。

Aさんが「【ア】のとき、①は1次方程式になりそうだね」と言っているので、【ア】はa=0だと分かります。

(2)難易度:★☆☆☆☆

Aさんが「a=0かつ【イ】のとき、1次方程式どころか、① の式からxが消えてしまうよ」と言っているので、xの係数bのことだと分かります。よって、【イ】はb=0です。

(3)難易度:★★★☆☆

A「a=0かつb=0かつc=0なら、①の式は0=0になるけれども、この式はxがどのような値であっても成り立つから…」

B「解の個数は【ウ】といえるわけだ」

という会話の「xどのような値でも成り立つ」という部分から、xは0でも-1でも9999999でも何でも成り立つということです。よって、【ウ】は無数にあるです。

a=0かつb=0かつc≠0のとき、①の式はc=0になってしまうので、矛盾が生じます。よって【エ】は0個(存在しない)となります。

a=0かつb≠0のとき、①の方程式はbx+c=0となり、x=-\frac{c}{b}の1個ということになります。よって、【オ】は1個です。

「2乗して負の値になる数は有理数にも無理数にも存在しない」とありますので、平方根の中身のa=0でないときのb²-4acの値が負の場合には解は存在しません。

また、解の公式の中にある±\scriptsize\sqrt{b²-4ac} は「+\scriptsize\sqrt{b²-4ac} または-\scriptsize\sqrt{b²-4ac} の2通り」という意味です。ということは、 \scriptsize\sqrt{b²-4ac} =0、つまりb²-4ac=0のときは解は1個になってしまうことになります。

よって、①の解の個数は、
 b²-4ac>0のとき、2個【カ】
 b²-4ac=0のとき、1個【キ】
 b²-4ac<0のとき、0個

(4)難易度:★★☆☆☆

a=0のとき(2)より、b=0のとき、解の個数は無数にあるか、もしくは0個です。

b≠0つまりb=1,2,3,4,5のとき、cの値に関わらず解は1個となります。

よって、a=0のとき、①の解の個数が1個になるのは5×6=30通り。

(5)難易度:★★★☆☆

a≠0の場合を考え、(4)の答えに加えればよいですね。

a≠0の場合、(3)【キ】より、b²-4ac=0 つまり、b²=4ac となればよいことになります。b² が4の倍数になるので、bは偶数となります。

(ⅰ)b=0のとき、 ac=0となり、a≠0だからc=0です。
(a,c)=(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(5,0)の5通り。

(ⅱ)b=2のとき、 ac=1となりますから、
(a,c)=(1,1)の1通り。

(ⅲ)b=4のとき、 ac=4となりますから 、
(a,c)=(4,1),(2,2), (1,4)の3通り。

以上より、①の解の個数が1個になるのは、30+5+1+3=39通り。

 

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