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【須磨学園高校過去問解説】2021年度 数学 大問4

須磨学園高校過去問 2021年度 数学 大問4

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFを見てください。そしてまず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

平面図形の問題です。難易度は高くなく、正しく演習を積み重ねていれば特に行き詰まることなく回答できるでしょう。ただし、三角形がすべて30°、60°、90°の特別な直角三角形であることに気づけないと一問も解答できません。

(1)難易度:★☆☆☆☆

点Oには、●が6つ集まって180°になっています。よって、

●=180°÷6=30°

∠OBA=180°-(90°+30°)=60°

△OABは30°、60°、90°の直角三角形だから、
OA:OB:AB=\footnotesize\sqrt{3}:2:1

AB=1だから、OA=\footnotesize\sqrt{3}、OB=2

(2)難易度:★★☆☆☆

6個の直角三角形はすべて相似なので、すべて30°、60°、90°の直角三角形ということです。

 OD:OC
=OC:OB
=2:\footnotesize\sqrt{3}

OD=\frac{2}{\sqrt{3}}OC
  =\frac{2}{\sqrt{3}}×\frac{2}{\sqrt{3}}OB
  =\frac{4}{3}OB

よって、OB:OD=3:4

(3)難易度:★★☆☆☆

(2)より、Oと各頂点を結ぶ線分の長さは、反時計回りに\frac{2}{\sqrt{3}}倍されていくことが分かります。よって、

OG=(\frac{2}{\sqrt{3}})⁶ × OA
  =\frac{64}{27} × \footnotesize\sqrt{3}
  =\frac{64\sqrt{3}}{27}

(4)難易度:★★☆☆☆

∠AOD=30°×3
    =90°
だから、OD⊥AG

AG=OA+OG
  =\footnotesize\sqrt{3}\frac{64\sqrt{3}}{27}
  =\frac{91\sqrt{3}}{27}

OD=OA×(\frac{2}{\sqrt{3}})³=\footnotesize\sqrt{3}×\frac{8}{3\sqrt{3}}
  =\frac{8}{3}

△ADG=\frac{1}{2}×AG×OD
    =\frac{1}{2}×\frac{91\sqrt{3}}{27}× \frac{8}{3}
    =\frac{364\sqrt{3}}{81}

(5)難易度:★★★☆☆

OPが△ADGの面積を二等分するとき、△OGP=\frac{1}{2}△ADG

 △OGP
=△ODG×\frac{PG}{DG}
=△ADG×\frac{OG}{AG}×\frac{PG}{DG}

よって、
\frac{OG}{AG}×\frac{PG}{DG}\frac{1}{2}だから、

\frac{PG}{DG}\frac{1}{2}×\frac{AG}{OG}
  =\frac{1}{2}×\frac{91}{64}
  =\frac{91}{128}

DG:PG=128:91だから、DP:PG=37:91

 

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