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【須磨学園高校過去問解説】2021年度 数学 大問3

須磨学園高校過去問 2021年度 数学 大問3

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFを見てください。そしてまず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

計算量が多くて嫌になりますね(笑)。こういう問題はとりあえず(3)くらいまでを確実に解答して、最後に余った時間で残りをやるのもおすすめです。

(1)難易度:★☆☆☆☆

C₁:y=x²
C₂:y=\frac{1}{4}x²

また、点Aのx座標は正の値だから、 a>0。

点AはC₁上にありx座標がaであるから、A(a,a²)

点Dは点Aとy座標が等しくa²。点DはC₂上の点であるから、
y=\frac{1}{4}x²にy=a²を代入すると、

a²=\frac{1}{4}x²
点Dのx座標は正の値だから、
x=2a

よって、点Dの座標は(2a,a²)

(2)難易度:★★☆☆☆

図のように、
AB=a²- \frac{a²}{4}\frac{3a²}{4}
BC=2a-a=a

四角形ABCDが正方形となるときAB=BCであるから、

\frac{3a²}{4}=a
3a²-4a=0
a(3aー4)=0
a>0より、a= \frac{4}{3}

(3)難易度:★★☆☆☆

a=\frac{4}{3}のとき、
 点A(\frac{4}{3},\frac{16}{9}
 点B(\frac{4}{3},\frac{4}{9}
 点C(\frac{8}{3},\frac{4}{9}
 点D(\frac{8}{3},\frac{16}{3}

BD:y=bx+cとおくと、点B(\frac{4}{3},\frac{4}{9})、点D(\frac{8}{3},\frac{16}{3})を通るから、

 \frac{4}{9}\frac{4}{3}b+c
 \frac{16}{3}\frac{8}{3}b+c

これを解くと、b=1、c=-\frac{8}{9}

よって、BD:y=x-\frac{8}{9}

点Aを通り、BDに平行な直線をℓとし、ℓ上の任意の点Pをとると、△ABD=△PBD。

よって、点Eは直線ℓとC₁の交点のうち、点Aと異なる点である。

直線ℓは傾きが1で(\frac{4}{3},\frac{16}{9})を通るから、

直線ℓ:y=x+\frac{4}{9}

これとC₁:y=x²でyを消去すると、
x²=x+\frac{4}{9}
9x²-9x-4=0
(3x-4)(3x+1)=0
ゆえにx=\frac{4}{3},-\frac{1}{3}

点Eについて、x=-\frac{1}{3}。y=x²に代入して、y=\frac{1}{9}

よって、点Eの座標は(-\frac{1}{3},\frac{1}{9}

(4)難易度:★★★☆☆

△ABEを直線ABを軸として回転させてできる立体は、大きな円すいから小さな円すいを取り除いたものとなる。

底面の半径:両方\frac{5}{3}

高さ:円すい大 \frac{5}{3}
   円すい小 \frac{1}{3}

よって、
(Vの体積)=\frac{1}{3} × π ×(\frac{5}{3})² × \frac{5}{3}\frac{1}{3} × π ×(\frac{5}{3})² × \frac{1}{3}
      =\frac{25}{27} × π ×(\frac{5}{3}\frac{1}{3}
      =\frac{100}{81}π

(5)難易度:★★★☆☆

円すい大の母線の長さは、
AE=\frac{5\sqrt{2}}{3}

よって、円すい大の側面積は
(母線)×(底面の半径)× π
\frac{5\sqrt{2}}{3}×\frac{5}{3} × π
\frac{25\sqrt{2}}{9}π

円すい小の母線の長さは、
BE=\sqrt{ (\frac{5}{3})²+(\frac{1}{3})²}
  =\frac{\sqrt{26}}{3}

よって、円すい小の側面積は
(母線)×(底面の半径)× π
\frac{\sqrt{26}}{3} ×\frac{5}{3} × π
\frac{5\sqrt{26}}{9}π

(Vの表面積)=(円すい大の側面積)+(円すい小の側面積)
       = \frac{25\sqrt{2}+5\sqrt{26}}{9}π

 

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