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【夙川中学過去問解説】2021年度 算数 第3回 大問4

夙川中学過去問 2021年度 算数 第3回 大問4

問題文をそのまま掲載すると著作権上問題となるため、学校サイトの過去問PDFをご参照ください。まず自分で解いてみてから以下の解説を読んでください。

群数列の問題ですね。どういうルールで数が並んでいるかを見極められるかどうかがカギです。

1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5…

この数のならびを見ると、たびたび1に戻っていることが分かります。以下のようにグループ分けをしてみると、ルールが分かりやすくなると思います。

1,21,2,31,2,3,41,2,3,4,5,…

このように、 1に戻っていくたびにカウントする数を増やすというルールの数列だということが分かります。このように、グループに分けるとルールが分かりやすい数列を「群数列」といいます。

群数列は「第〇グループの△番目」で表すことを考えると解ける問題が多いです。

その際、「第〇グループの最後の数は何番目か」を考えると以下の式で表されます。

1+2+3+4+…+〇=(〇+1)× 〇 ÷ 2 …①

(1)難易度:★☆☆☆☆

①式にの〇に5をあてはめると15となり、6をあてはめると21となることから、20番目の数は第6グループの5番目の数字だと分かります。よって、どのグルプも1からはじまり1ずつ増えているので、20番目の数は5だと分かります。

(2)難易度:★☆☆☆☆

はじめて3が出てくるのは第3グループの3番目、はじめて5が出てくるのは第5グループの5番目…

このことから分かるように、はじめて10が出てくるのは第10グループの10番目です。よって、

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55(番目)

(3)難易度:★★★☆☆

①式の〇に15をあてはめると120になることから、120は第15グループの15番目であることが分かります。

120番目までに1~15までの数が何個ずつ含まれるかを考えます。すると、1は15個、2は14個、3は13個、…13は3個、14は2個、15は1個というふうになります。これらをすべて加えると、

1×15=15
2×14=28
3×13=39
4×12=48
5×11=55
6×10=60
7×9=63
8×8=64

9×7=63
10×6=60
11×5=55
12×4=48
13×3=39
14×2=28
15×1=15

(15+28+39+48+55+60+63)×2+64=680

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