西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は夙川中学校の過去問です。
もくじ
１ 計算問題
解説は省略します。
２ 小問集合
解説は省略します。
３ 食塩水の濃さ
食塩水の濃さの問題です。基本的な問題ではありますが、面積図を使いこなせるかどうかが問われる良い問題です。まだ面積図の使い方があいまいな人は、以下のポイントを読んでこの機会にマスターしましょう。
面積図を使うときはまず、「たて」「よこ」「面積」の３つがそれぞれ何に対応しているのかをしっかり決めることが大事です。ポイントは、
【積としてあらわされるもの】が「面積」
【「〇〇あたりの□□」と言いかえられるもの】が「たて」
になるようにすることです。以下はその例です。
食塩水に関する問題
（食塩水の重さ）×（食塩水の濃度）＝（食塩の重さ）
濃度は「食塩水１ｇあたりに含まれる食塩の重さ」なので、
（食塩の重さ）⇒（面積）
（食塩水の濃度）⇒（たて）
（食塩水の重さ）⇒（よこ）
速さに関する問題
（時間）×（速さ）＝（道のり）
速さは「時間あたり移動する道のり」 なので、
（道のり）⇒（面積）
（速さ）⇒（たて）
（時間）⇒（よこ）
つるかめ算
（１匹あたりのあしの数）×（頭数）＝（あしの総数）なので、
（あしの総数）⇒（面積）
（１匹あたりのあしの数）⇒（たて）
（頭の数）⇒（よこ）
（１）難易度：★★☆☆☆
（食塩の重さ）⇒（面積）
（食塩水の重さ）⇒（よこの長さ）
（食塩水の濃度）⇒（たての長さ）
となるように面積図を描いて考えます。ＡとＢからそれぞれ□ｇくみ出して移しかえたとすると、Ａに入っているのは５％食塩水（４００ー □）ｇと８％食塩水□ｇを混ぜたものということになります。よって図１の面積の合計が食塩の重さの合計ということになります。
この濃度が５.７５％なので、そこに含まれる食塩の重さは図２の長方形の面積で表すこともできます。
図１と図２の色塗り部の面積が等しいので、その共通部分（図３の色塗り部）を除いたＸとＹの面積は等しいことが分かります。Ｘのたての長さは５.７５－５＝０.７５（％）、Ｙのたての長さは８－５.７５＝２.２５（％）となります。
ＸとＹのたての長さの比は０.７５：２.２５＝１：３となります。ＸとＹの面積が等しいので、よこの長さの比はその逆比の３：１となります。
よって、Ｙのよこの長さは全体のよこの長さ、つまり４００ｇの\frac{１}{４}となるので、４００×\frac{１}{４}＝１００（ｇ）となります。
（２）難易度：★★★☆☆
濃度が等しくなるということは、ＡとＢに入っている食塩水のぜんぶを別の大きな容器でまぜ、その後ＡとＢに配り直したのと同じ状態ということになります。
このようにしてできた食塩水の濃度を計算します。
ＡとＢに含まれる食塩の重さの和を水溶液の重さの和で割ればよいので、
（４００×\frac{５}{１００}＋１０００×\frac{８}{１００}）÷ １４００×１００
＝（２０＋８０）÷ １４＝\frac{５０}{７}（％）
（１）と同様に、移し替えた後の濃度が\frac{５０}{７}％になるように 面積図を描いて考えます。
面積図より、 移し替えた食塩水は、
４００×\frac{５}{７}＝\frac{２０００}{７}＝ ２８５\frac{５}{７}（ｇ）
（３）難易度：★★★☆☆
食塩水に含まれる食塩だけを取り出して考えてみましょう
Ａから作った紙コップには、２０×\frac{５}{１００}＝１（ｇ）
Ｂから作ったプラスチックコップには、２０× \frac{８}{１００}＝１.６（ｇ）
コップ２０個分の食塩水をまぜた容器の中に含まれる食塩は、
２０×２０×\frac{６.９５}{１００}＝２７.８（ｇ）
ここで「つるかめ算」の考え方を使います。
もし仮に２０個全部プラスチックコップだったとすると、食塩の重さは
１.６×２０＝３２（ｇ）
プラスチックコップを何個紙コップに置き換えれば、２７.８ｇになるかを考えると、
（３２ー２７.８）÷（１.６－１）＝４.２÷０.６＝７（個）
４ 群数列
西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は夙川中学校の過去問です。
群数列の問題ですね。どんなルールで数が並んでいるかを見極められるかどうかがカギです。
１，１，２，１，２，３，１，２，３，４，１，２，３，４，５…
この数のならびを見ると、たびたび１に戻っていることが分かります。以下のようにグループ分けをしてみると、ルールが分かりやすくなると思います。
１，１，２，１，２，３，１，２，３，４，１，２，３，４，５，…
このように、 １に戻っていくたびにカウントする数を増やすというルールの数列だということが分かります。このように、グループに分けるとルールが分かりやすい数列を「群数列（ぐんすうれつ）」といいます。
群数列は「第〇グループの△番目」で表すことを考えると解ける問題が多いです。
その際、「第〇グループの最後の数は何番目か」を考えると以下の式で表されます。
１＋２＋３＋４＋…＋〇＝（〇＋１）× 〇 ÷ ２ …①
（１）難易度：★☆☆☆☆
①式にの〇に５をあてはめると１５となり、６をあてはめると２１となることから、２０番目の数は第６グループの５番目の数字だと分かります。よって、２０番目の数は５だと分かります。
（２）難易度：★☆☆☆☆
はじめて３が出てくるのは第３グループの３番目、はじめて５が出てくるのは第５グループの５番目…
このことから分かるように、はじめて１０が出てくるのは第１０グループの１０番目です。よって、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝５５（番目）
（３）難易度：★★★☆☆
①式の〇に１５をあてはめると１２０になることから、１２０は第１５グループの１５番目であることが分かります。
１２０番目までに１～１５までの数が何個ずつ含まれるかを考えます。すると、１は１５個、２は１４個、３は１３個、…１３は３個、１４は２個、１５は１個というふうになります。これらをすべて加えると、
１×１５＝１５
２×１４＝２８
３×１３＝３９
４×１２＝４８
５×１１＝５５
６×１０＝６０
７×９＝６３
８×８＝６４
９×７＝６３
１０×６＝６０
１１×５＝５５
１２×４＝４８
１３×３＝３９
１４×２＝２８
１５×１＝１５
（１５＋２８＋３９＋４８＋５５＋６０＋６３）×２＋６４＝６８０
５
作成中です。
