西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は兵庫県公立高校入試の過去問です。
西宮市立西宮高校、西宮東高校、神戸高校などの難関公立高校をめざすには、ぜひ全問正解したい問題です。
もくじ
１ 小問集合
解説は省略します。
２ 速度とグラフ
速さを使った連立方程式の問題です。昨年度と同じパターンの出題ですね。
（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）
（１）難易度：★☆☆☆☆
Ａさんは１４分でＰ地点からＱ地点についているから、
９８０÷１４＝７０（ｍ/分）
（２）難易度：★☆☆☆☆
９時６分と９時２０分におけるＢさんの位置と時刻の関係をグラフ上の座標（ｘ,ｙ）で表すと、
Ｑ地点 → （６,９８０）…① Ｐ地点 → （２０,０）…②
ｘとｙの関係をｙ＝ａｘ＋ｂとおく。
①を代入して、９８０＝６ａ＋ｂ …③
②を代入して、０＝２０ａ＋ｂ よって、ｂ＝－２０ａ
これを③に代入して、９８０＝－１４ａ ゆえに、ａ＝－７０、ｂ＝１４００
よって、求める式は、ｙ＝－７０ｘ＋１４００
（３）難易度：★★☆☆☆
（２）と同様に、９時０分と９時１４分におけるＡさんについて、ｘとｙの関係を表してみましょう。Ａさんの場合は…
Ｐ地点 → （０,０） Ｑ地点 → （１４,９８０）
なので、Ａさんについてｘとｙの関係はｙ＝７０ｘ
ＡさんとＢさんがすれちがうことは、つまりＡさんとＢさんが同じ時刻に同じ位置にいることなので、
ｙ＝７０ｘ …④
ｙ＝－７０ｘ＋１４００…⑤
④と⑤を同時に満たすｘとｙを求めればよいことになります。つまり連立方程式を解くということです。
④－⑤より、０＝１４０ｘ－１４００ ゆえにｘ＝１０、ｙ＝７００
よって、ＡさんとＢさんがすれ違ったのは、Ｐ地点から７００ｍのところ。
（４）難易度：★★☆☆☆
「９時１２分、ＡさんとＣさんまでの距離とＣさんからＢさんまでの距離が等しくなった」とあります。ここでＡさんとＢさんの歩く速さが７０ｍ/分で等しいことに注目します。
歩く速さの等しいＡさんとＢさんがすれちがったあと、ＡさんとＣさんまでの距離とＣさんからＢさんまでの距離が等しくなった。これは、「ＣさんはＡさんとＢさんがすれちがった２分後 、ＡさんとＢさんがすれ違った地点にいる」ということです。
グラフをかいて考えましょう。（本番は問題の図にかきこみましょう）
こういうことですね。そして、Ｃさんは分速３００ｍの自転車で移動しているのでこの場所に到着するには、
７００÷３００＝\frac{７}{３}（分）
つまり２分２０秒かかることになります。実際には、１２分後にこの地点にいるので、図書館に立ち寄っていた時間は
１２分 － ２分２０秒 ＝ ９分４０秒
３ 平面図形
平面図形の問題です。これも昨年度のパターンですね。
（４）は適切な補助線を引けるかどうかがカギです。
（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）
（１）難易度：★☆☆☆☆
基本的な証明問題ですね。誘導に乗るだけなので、基本問題をしっかり練習できていれば正解できるでしょう。
＜証明＞
△ＡＣＥと△ＯＤＥにおいて、
対頂角は等しいから、
∠ＡＥＣ＝∠ＯＥＤ…➀
仮定より、
ＡＣ//ＤＯ…②
平行線の錯角は等しいから、
②より、∠ＡＣＥ＝∠ＯＤＥ…③
➀、③より、２組の角がそれぞれ等しいから、
△ＡＣＥ∽△ＯＤＥ
よって、（ⅰ）ウ（ⅱ）オ
（２）難易度：★☆☆☆☆
三平方の定理を使うだけですね。
線分ＡＢは円Ｏの直径で、Ｃは円Ｏ上の点なので、∠ＡＣＢ＝９０°
よって、三平方の定理より、ＡＣ²＋ＢＣ²＝ＡＢ²
ＡＣ＝６、ＢＣ＝８だから、ＢＣ²＝６４－３６＝２８より、ＢＣ＝２\scriptsize\sqrt{７}
（３）難易度：★★☆☆☆
方針としてはまず△ＡＢＣの面積を求め、底辺の比を用いて△ＡＣＥの面積を求めます。
△ＡＣＥ＝ＡＢ×ＡＣ÷２＝６\scriptsize\sqrt{７} （㎠）
ここで、（１）で証明した相似を使います。
△ＡＣＥ∽△ＯＤＥより、
ＡＥ：ＯＥ＝ＡＣ：ＯＤ＝３：２
よって、ＡＥ＝\frac{３ＡＯ}{３＋２}＝\frac{１２}{５}（㎝）
△ＡＣＥ＝△ＡＢＣ× \frac{ＡＥ}{ＡＢ} ＝\frac{９\sqrt{７}}{５}
（４）難易度：★★★☆☆
補助線が必要なのはすぐ分かりそうですが…
ＤＥを求めたい
↓
ＣＤを求めれば比を使って計算できそう
↓
ＣＤを辺にもつような直角三角形がかけないか？
と発想すればよいわけです。
点Ｏから線分ＢＣに下した垂線の足をＨとおきます。
このとき、△ＯＢＨ≡△ＯＣＨ（証明は省略します）だから、
ＣＨ＝ＢＨ＝ＢＣ× \frac{１}{２} ＝ \scriptsize\sqrt{７}
△ＯＣＨにおいて、三平方の定理より
ＯＨ²＝ＯＣ²－ＣＨ²１６－７＝９より、
ＯＨ＝３
また、ＯＨ//ＡＣだから、点Ｄ、Ｏ、Ｈは一直線上にあり、
ＤＨ＝ＤＯ＋ＯＨ＝７
△ＣＤＨにおいて、
三平方の定理よりＣＤ²＝ＣＨ²＋ＤＨ²＝７＋４９＝５６より、
ＣＤ＝２\scriptsize\sqrt{１４}
△ＡＣＥ∽△ＯＤＥより、
ＣＥ：ＤＥ＝３：２だから、
ＤＥ＝\frac{２ＣＤ}{３＋２}＝\frac{４\sqrt{１４}}{５}（㎝）
４ ２次関数と回転体
（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）
関数と回転体の問題ですね。
（１）難易度：★☆☆☆☆
ｙ＝\frac{１}{２}ｘ² …①
ｙ＝ａｘ² …②
点Ｃは①上の点だから、ｙ＝\frac{１}{２}ｘ²にｘ＝２を代入して、
ｙ＝\frac{１}{２} × ４＝２
（２）難易度：★☆☆☆☆
点Ａは②を通るから、 ｙ＝ａｘ² にｘ＝２を代入して、ｙ＝４ａ
よって、Ａ（２,４ａ）
点Ｂも②を通るから、 ｙ＝ａｘ² にｘ＝４を代入して、ｙ＝１６ａ
よって、Ｂ（４,１６ａ）
また、ｘの値が２から４まで増加するときの変化の割合が \frac{３}{２} なので、
\frac{１６ａ－４ａ}{４－２} ＝ \frac{３}{２}
これを解くと、ａ＝ \frac{１}{４}
（３）① 難易度：★★☆☆☆
（２）より、Ａ（２,１）、Ｂ（４,４）
直線ＡＢをあらわす式を求めるために、この式をｙ＝ｂｘ＋ｃ とおきます。
ｂ＝ \frac{４－１}{４－２} ＝ \frac{３}{２}
ｙ＝ \frac{３}{２}ｘ＋ｃ がＡ（２,１）を通るから ,この式にｘ＝２、ｙ＝１を代入して、
１＝３＋ｃ ゆえに、ｃ＝－２
以上より、直線ＡＢをあらわす式はｙ＝ \frac{３}{２}ｘ－２
また、点Ｄはｙ軸に関してＣと対称な点だから、Ｄ（－２,２）
よって、点Ｅのｘ座標は－２。
ｙ＝ \frac{３}{２}ｘ－２ にｘ＝－２を代入すると、
ｙ＝－３－２＝ー５
よって、Ｅ（ー２,－５）
（３）② 難易度：★★☆☆☆
四角形ＡＣＤＥは上の図のようになり、
・ＡＣ//ＥＤの台形
・∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°
・ＡＣ＝２－１＝１ ＣＤ＝２＋２＝４ ＤＥ＝５＋２＝７
これを直線ＣＤを軸に回転させると、横に倒した山のようになりますね。
この形（山型、プリン型）の体積は定番ですね。大きな円すいから小さな円すいを引くと体積が求められます。
大小それぞれの円すいの高さを求めるために平面に戻ります。
ＤＣとＥＡの延長の交点をＦとおくと、
ＣＡ//ＤＥより、△ＦＣＡ∽△ＦＤＥ（証明は省略します）だから、
ＦＣ：ＦＤ＝ＣＡ：ＤＥ＝１：７なので、ＦＣ：ＦＤ：ＣＤ＝１：７：６
ＣＤ＝４㎝より、
ＦＣ＝４× \frac{１}{６} ＝ \frac{２}{３}
ＦＤ＝４× \frac{７}{６} ＝ \frac{１４}{３}
よって求める体積は、
（大きな円すい）－（小さな円すい）
＝７×７× π × \frac{１４}{３} × \frac{１}{３} － １×１× π × \frac{２}{３} × \frac{１}{３}
＝７６π （㎤）
５ 確率と立体図形
（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）
確率と立体図形を組み合わせた問題ですね。複雑そうに見えますが、整理して考えることができれば意外とすんなり解けます。
（１）難易度：★☆☆☆☆
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅのカードが入っている袋を（あ）とし、Ｂ、Ｃ、Ｄのカードが入っている２つの袋をそれぞれ（い）、（う）と呼ぶことにします。
（あ）－（い）－（う）それぞれの袋から１枚ずつカードを選ぶので、
Ｂ－Ｂ－Ｂ、Ｃ－Ｃ－Ｃ、Ｄ－Ｄ－Ｄ
の３通り。
（２）① 難易度：★☆☆☆☆
ＢかＣのどちらかが２枚、もう片方が１枚選ばれればよいので…
Ｂ２枚、Ｃ１枚になるのは、
Ｂ－Ｂ－Ｃ、Ｂ－Ｃ－Ｂ、Ｃ－Ｂ－Ｂの３通り。
Ｂ１枚、Ｃ２枚になるのは、
Ｃ－Ｃ－Ｂ、Ｃ－Ｂ－Ｃ、Ｂ－Ｃ－Ｃの３通り。
あわせて６通り。
（２）② 難易度：★★☆☆☆
図形Ｘが線分になる場合のうち、延長した直線が辺ＡＢとねじれの位置（交わってもいないし、平行でもない）にあるのは、ＣＤ、ＣＥ、ＤＥの３つ。
図形ＸがＣＤとなるのは、①と同様に数えられるので、６通り。
図形ＸがＣＥとなるのは、Ｅ－Ｃ－Ｃの１通り。
図形ＸがＤＥとなるのは、Ｅ－Ｄ－Ｄの１通り。
あわせて８通り。
（２）③ 難易度：★★☆☆☆
頂点を３つ選んだとき、面積が２㎠の三角形となるのは、△ＡＢＤ、△ＡＣＥ、△ＢＣＤ、△ＢＣＥ、△ＢＤＥ、△ＣＤＥの６つです。
たとえば、△ＢＣＤなど正方形ＢＣＤＥを対角線で切ったものは２㎠の直角二等辺三角形であることに気づきやすいですが、△ＡＣＥと△ＡＢＤもそれらと合同な直角三角形です。
このうち、図形Ｘの条件で△ＡＣＥはつくることができません。ＡとＥのカードは（あ）の袋にしか入っていないので両方選ぶことはできないからです。
また、△ＡＢＤ、△ＢＣＥ、△ＢＤＥ、△ＣＤＥについては、（あ）からＡまたはＥのカードをえらび、のこりの２枚のカードをそれぞれ（い）または（う）から選ぶことになるので、それぞれ２通りずつあります。
さらに、△ＢＣＤについては、（あ）、（い）、（う）のいずれかの袋からＢ、Ｃ、Ｄのカードを１枚ずつとる選び方なので、
３×２×１＝６（通り）
以上より、２㎠の三角形となるカードの取り方は、２×４＋６＝１４（通り）
すべてのカードの選び方は、５×３×３＝４５通りなので、
２㎠の三角形となる確率は、１４÷４５＝ \frac{１４}{４５}
６ 資料の読み取り
（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）
資料の読み取りに関する問題ですね。内容の読み取りさえできれば、非常に簡単で、上位層を狙うなら確実に満点をとっておきたい。絶対に落とせない問題といえるでしょう。
（１）難易度：★☆☆☆☆
りょうさんが「各種目で同じ順位の選手がいなければ、それぞれの選手について、３種目の順位をかけ算してポイントを算出するんだ」と言っています。
よって、マウェム選手のポイントは、
３×２×７＝４２（ポイント）
（２）① 難易度：★☆☆☆☆
平均順位を表にかきこんでいってみましょう。
| 選手 | スピード | ボルダリング | リード | 平均 |
| ヒネス ロペス | １ | ７ | ４ | ４ |
| コールマン | ６ | １ | ５ | ４ |
| シューベルト | ７ | ５ | １ | ４\frac{１}{３} |
| ナラサキ | ２ | ３ | ６ | ３\frac{２}{３} |
| マウェム | ３ | ２ | ７ | ４ |
| オンドラ | ４ | ６ | ２ | ４ |
| ダフィー | ５ | ４ | ３ | ４ |
すると、もっとも平均順位の値が小さいのは、ナラサキ選手で、 ３\frac{２}{３}位であったことが分かります。
ナラサキ選手は本来の総合順位４位の選手です。
（２）② 難易度：★★☆☆☆
３種目とも１０位だった場合、かけ算で出すポイントは１０００。
３種目の順位が（１０－ｎ）位、１０位、（１０＋ｎ）位だった場合、かけ算で出すポイントは…
（１０－ｎ）×１０×（１０＋ｎ）＝１０（１００－ｎ²）
＝１０００－１０ｎ²
よって、そのポイント差は１０ｎ²
（２）③ 難易度：★★☆☆☆
０＜ｎ＜１０の範囲ですが、ｎは整数なので１≦ｎ≦９と表すこともできます。
一方、ポイント差は１０ｎ²とあらわせるので、ｎの絶対値が大きいほどポイント差は大きくなります。よって、ｎ＝９のとき、ポイント差は最大になり
１０×９²＝８１０
（３）難易度：★★☆☆☆
２０人の選手で大会を行っているので、順位の値は１以上２０以下の整数です。
Ｂ選手の方が順位を決めやすいので、Ｂ選手から考えてみましょう。
Ｂ選手は１５位の種目があるのでポイントは１５の倍数です。１５の倍数で４０１以上４１０未満という範囲を満たすのは４０５。よって、Ｂのポイントは４０５です。
さらに、Ｂ選手の１５位以外の２種目の順位の積は、
４０５÷１５＝２７＝３³
なので、ほかの順位は３位と９位であることが分かります。
一方、Ａ選手は４位の種目があるので、ポイントは４の倍数です。４の倍数で４０１以上４１０未満という範囲を満たすのは４０４と４０８。
このうち、４０４＝４×１０１で、１０１は素数なので、１以上２０以下の順位という条件に合いません。よって、Ａのポイントは４０８に確定します。
ここで、Ａ選手の４位以外の２種目の順位の積は、
４０８÷４＝１０２＝２×３×１７
１以上２０以下の順位という条件にあうように４位以外の順位を考えると、
６位と１７位となります。
まとめると、
Ａ選手の３種目の順位は、４位、６位、１７位で４０８ポイント。
Ｂ選手の３種目の順位は、３位、９位、１５位で４０５ポイント。
以上より、 Ａ選手の方が下位で、残りの２種目の順位は６位と１７位。
