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【兵庫県公立高校入試解説】2021年度 数学 大問6

「星形正n角形」という聞きなれない図形の規則性を考える問題です。 (4)は「星形正n角形ができる条件」と「星形正n角形の先端の角度のきまり方」の両方を把握しないといけないので、少し難しいかもしれません。

兵庫県公立高校入試解説 2021年度 数学 大問6-1
兵庫県公立高校入試解説 2021年度 数学 大問6-2

(兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています)

(1)難易度:★★☆☆☆

表を見ると、nが奇数のときに、2つおきに結んで星型正n角形ができることが分かります。よって、イ。

(2)難易度:★★☆☆☆

➀:7=2x:360が何を表しているかを考えます。7⇒360から、頂点で挟まれた小さな弧の個数の比と中心角の比が等しいことを表しているのだと分かります。中心角2xは小さな弧3つ分なので、①=3。

7×2x=3×360より、7x=540°…②

(3)難易度:★★★☆☆

(2)の比例式は、円周を7等分する点についての立てられています。7をnに置き換えてみると、中心角2xは小さな弧(n-4)個分にあたるので、

nー4:n=2x:360
2nx=360nー1440
nx=180nー720

よって、n個の角の和は(180nー720)°

(4)難易度:★★★☆☆

n等分した点をk個おきに結ぶことと(nーk)個おきに結ぶことは同じです。

たとえば図のように円周を12等分した点を結ぶ場合、点を5個おきに結ぶことと(12-5=)7個おきに結ぶことは同じですね。

円周を24等分するこの問題において、kと24ーkは同じ図形が出来上がることになります。よって、この問題では2≦k≦12とします。

また、n等分した点をk個おきに結ぶ場合、kとnに1以外の共通の約数があると、全ての点を通る前に元の点にもどってしまいます。その場合、星形n角形は作れないことになります。

以上より、星形正二十四角形は下表のとおり3種類あることがわかります。

k23456789101112
24-k2221201918171615141312
星形
n
角形

円周を24等分した点をk個おきに結んでできる円周角に対応する中心角の大きさは、
360°-360°× \frac{2k}{24}
=(360-30×k)°

よって、円周角は(360-30×k)°÷2=(180-15×k)°

これが星形正二十四角形の先端部分の角度にあたるから、kが一番大きくなるとき角度は最小となります。よって、k=11。

このとき、
(先端部分の角度)= (180-15×11)°=15°

 

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