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【兵庫県公立高校入試解説】2021年度 数学 大問5

西宮市の家庭教師ダイアログでは、受験対策において志望校の過去問演習を最重視しています。ここでは受験生の自宅学習の手助けのために、兵庫県公立高校入試の過去問解説を掲載いたします。

(兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています)

 

場合の数と確率の問題です。とくにひねった設問もなく、易~標準レベルの問題です。(3)②は(平方数)×(平方数)=(平方数)を利用すると早く解けますね。

(1) 難易度:★☆☆☆☆

6枚のメダルから、2枚を選ぶ組み合わせと同じなので、

6×5÷2=15(通り)

(2)難易度:★☆☆☆☆

6枚それぞれのメダルについて、表裏の2通りが考えられるから、

2⁶=64(通り)

(3)難易度:★★☆☆☆

\sqrt{ a }が整数となるのは、aが平方数となるときです。

6枚全部が表のとき、a=1×2×4×6×8×9=3456

これを素因数分解すると、2⁷×3³となります。表が0枚のときを除くとa= 2^x×3^yと表され、aが平方数となるのはxとyが両方とも偶数になるときです。ここまで考えを整理してから問題にとりかかると楽ですね。

➀表が1枚のとき、 1,4,9の3通り。
表が2枚のとき、(1,4),(1,9),(4,9),(2,8)の4通り。

あわせて7通り。

②あえて、表の数の多い方からaが平方数になる場合の数を数えていきます。

6枚全部が表のとき、a=2⁷×3³だから平方数ではありません。

表が5枚のとき、6が裏になればx、yが1つずつ減ります。
つまり、表が(1,2,4,8,9)であれば、
a=1×2×4×8×9=2⁶×3²で平方数となります。よって1通り。

表が4枚のとき(1,2,4,8,9)の状態から平方数1,4,9のいずれか1枚を裏にすればよいことになります。
よって、(2,4,8,9),(1,2,8,9),(1,2,4,8)の3通り。

表が3枚のとき(1,2,4,8,9)から積が平方数となる2数の組(1,4),(1,9),(4,9),(2,8)のいずれかの組を裏にすればよいことになります。
よって(2,8,9),(2,4,8),(1,2,8),(1,4,9)の4通り。

表が0枚のときa=0だから平方数となります。よって1通り。

以上より、aが平方数になるのは、①とあわせて
1+3+4+4+3+1+0=16通り。

(2)よりメダルの表裏の出方の総数は64だから、
求める確率は\frac{16}{64}\frac{1}{4}

 

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