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【兵庫県公立高校入試解説】2021年度 数学 大問4

(兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています)

超定番の関数とグラフの問題です。(3)のような三角形の面積を二つに分けたり、面積比を高さの比に変換するテクニックは本当に頻出ですのでやっておいて損はないです。

(1)難易度:★☆☆☆☆

 y=\frac{8}{x}  …①
 y=ax² …②

点Aは①上の点だから、y=\frac{8}{x}にx=4を代入して、

y=\frac{8}{4}=2

よって、点Aの座標は(4,2)

点Bの座標を(x₁,y₁)とすると、原点Oが線分ABの中点だから、

\frac{x₁+4}{2}=0、 \frac{y₁+2}{2}=0

よってx₁=-4、y₁=-2だから、B(-4,-2)

(2)難易度:★☆☆☆☆

点A(4,2)は②を通るから、 y=ax² にx=4、y=2を代入して、
2=a×4²

ゆえに、a=\frac{2}{16}\frac{1}{8}

(3)難易度:★★☆☆☆

点Cからy軸に下ろした垂線とy軸との交点を点Fとします。

△OAC
=△OAD+△ODC
\frac{1}{2}×OD×4+\frac{1}{2}×OD×CF
\frac{1}{2}×OD× (4+CF)

△OBD=\frac{1}{2}×OD×4

△OAC:△OBD=3:1だから、

\frac{1}{2}×OD×(4+CF):\frac{1}{2}×OD×4=3:1

(4+CF):4=3:1
ゆえに、CF=8

よって、点Cのx座標は-8

 

 

a=\frac{1}{8}より、②:y=\frac{1}{8}

これにx=-8を代入すると、y=8だから、点C(-8,8)

xの変域-8≦x≦4におけるyの変域は右のグラフより、

0≦y≦8

(4)難易度:★★★☆☆

辺ACの長さは点Eの座標とは無関係なので、△ACEの3辺の長さの和が最小になるのは、AE+ECが最小となるときです。

x軸に関し点Aと対称なる
点A’(4,-2)をとると、

AE+EC=A’E+EC

右図のように、A’E+ECが最小となるのは、3点A’,E,Cが一直線上にあるときである。

直線A’C:y=bx+cとおく。これがA’(4,-2)とC(-8,8)をとおるから、

 -2=4b+c
  8=-8b+c

これを解くと、b=-\frac{5}{6}、c=\frac{4}{3}

よって、直線A’C:y=-\frac{5}{6}x+\frac{4}{3}

これとx軸の交点を求める。y=0を代入すると、

0=-\frac{5}{6}x+\frac{4}{3}

x=\frac{4}{3}×\frac{6}{5}
 =\frac{8}{5}

よってEのx座標は\frac{8}{5}

 

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