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【兵庫県公立高校入試解説】2021年度 数学 大問3

西宮市の家庭教師ダイアログでは、受験対策において志望校の過去問演習を最重視しています。ここでは受験生の自宅学習の手助けのために、兵庫県公立高校入試の過去問解説を掲載いたします。

(兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています)

定番の図形問題ですが、立体と平面を組み合わせている分、少し目新しく感じますね。最終設問(4)はたくさんの情報を扱いますので、ひとつずつ整理しながら計算を進めていきましょう。

(1) 難易度:★☆☆☆☆

基本的な証明問題ですね。誘導に乗るだけなので、基本問題をしっかり練習できていれば正解できるでしょう。

<証明>
△ABEと△BDEにおいて、
共通な角だから、
∠AEB=∠BED…➀
直線AEは∠BACの二等分線だから、
∠BAE=∠CAE…②
弧CEに対する円周角は等しいから、
∠DBE=∠CAE…③
②、③より、∠BAE=∠DBE…④
➀、④より、2組の角がそれぞれ等しいから、
△ABE∽△BDE

よって、(ⅰ)ウ(ⅱ)カ

(2)難易度:★☆☆☆☆

大問の前半の設問で証明したことは、そのあとの問題で必ず使うと考えていいでしょう。この問題も(1)で証明した相似を使います。

△ABE∽△BDEより、
AE:BE=BE:DE
よって、DE=\frac{BE²}{AE}
AE=8cm、BE=7cmだから、
DE=\frac{49}{8} (cm)

(3)難易度:★★☆☆☆

∠BAC=120°で直線AEは∠BACの二等分線だから、
∠BAE=∠CAE =60°
弧CEに対する円周角は等しいから、
∠CBE=∠CAE=60°…⑤
弧BEに対する円周角は等しいから、
∠BCE=∠BAE=60° …⑥
⑤、⑥より、2つの角が60°だから、△BCEは正三角形である。

点Eから辺BCに垂線を下ろし、辺BCとの交点をHとおくと、点Hは辺BCを二等分する。
よってBH=\frac{7}{2}

△BEHにおいて、∠BHE=90°であるから、三平方の定理より、
BH²+EH²=BE²

ゆえに
EH²= BE² -BH²
  =49ー\frac{49}{4}
  =\frac{147}{4}

EH=\sqrt{\frac{147}{4}}
  =\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{4}}
  =\frac{7\sqrt{3}}{2}

よって、
△BCE=\frac{1}{2}×BC×EH
    =\frac{1}{2}×7×\frac{7\sqrt{3}}{2}
    =\frac{49\sqrt{3}}{4}

(4)難易度:★★★☆☆

たくさん情報を扱いますので、一つ一つ整理していきましょう。

まず、底面となる四角形ABECの面積を出すために、△ABCの面積を出すことを目指しましょう。

DA=AE-DE
  =8-\frac{49}{8}
  =\frac{15}{8}

点Aから辺BCに垂線を下ろし、辺BCとの交点をIとおきます。

△AIDと△EHDにおいて、
∠AID=∠EHD=90°…⑦
対頂角は等しいから、
∠ADI=∠EDH…⑧
⑦、⑧より、2組の角がそれぞれ等しいから、
△AID∽△EHD

よって、AI:AD=EH:ED

AI=\frac{AD×EH}{ED}
  =\frac{15}{8} ×\frac{7\sqrt{3}}{2}÷ \frac{49}{8}
  =\frac{15\sqrt{3}}{14}

△ABC
\frac{1}{2}×BC×AI
\frac{1}{2}×7×\frac{15\sqrt{3}}{14}
\frac{15\sqrt{3}}{4}

四角形ABEC=△ABC+△BCE
       =\frac{15\sqrt{3}}{4}\frac{49\sqrt{3}}{4}
       =\scriptsize16\sqrt{3}

また、点Oは△BCEの重心であるから、
線分OE=HE×\frac{2}{3}
    =\frac{7\sqrt{3}}{3}
これは、円Oの半径であり、半球Xの半径でもあります。

ゆえに半球Xにおいて、
PO=\frac{7\sqrt{3}}{3}

四角すいPーABECの体積は
\frac{1}{3}×\scriptsize16\sqrt{3}×\frac{7\sqrt{3}}{3}
\frac{112}{3}

 

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