【兵庫県公立高校】入試解説２０２１年度 数学　過去問

今回は兵庫県公立高校入試の２０２１年度数学の過去問です。

１　小問集合

解説は省略します。　

２　速度と連立方程式

（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）

西宮の家庭教師 かきた

速さを使った連立方程式の問題です。グラフが与えられていますので、ここにＢさんの移動のようすをかきこむと理解の助けになるでしょう。速度が変わる時点でのＡＢ間の距離を求めるのがポイントです。

（１）難易度：★☆☆☆☆

Ｂさんは３０分で駅から博物館についているから、

２７００÷３０＝９０（ｍ/分）

（２）難易度：★★☆☆☆

Ａさんが自転車で走った時間をａ分、歩いた時間をｂ分とすると、

　ａ＋ｂ＝３５　　　　　　　　…➀
　１６０ａ＋６０ｂ＝２７００　…②　←ア

➀より、ａ＝３５－ｂ

これを②に代入して、
５６００－１６０ｂ＋６０ｂ＝２７００
１００ｂ＝２９００
ゆえにｂ＝２９←ウ、ａ＝６←イ

この解は問題に適。

Ａさんが自転車に乗っていた時間は６分、歩いた時間は２９分。

（３）難易度：★★☆☆☆

出発してから６分後、ＡさんとＢさんの間の距離は
（１６０－９０）×６＝４２０（ｍ）

その後Ａさんが歩き始めてからＢさんが追いつくまでの時間は、
４２０÷（９０－６０）＝１４（分）

よってＢさんは駅から走り始めて（６＋１４）分経ったときにＡさんに追いつきます。その時の駅からの距離は、

９０×２０＝１８００（ｍ）

３　立体図形と平面図形

（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）

西宮の家庭教師 かきた

定番の図形問題ですが、立体と平面を組み合わせている分、少し目新しく感じますね。最終設問（４）はたくさんの情報を扱いますので、ひとつずつ整理しながら計算を進めていきましょう。

（１）難易度：★☆☆☆☆

基本的な証明問題ですね。誘導に乗るだけなので、基本問題をしっかり練習できていれば正解できるでしょう。

＜証明＞
△ＡＢＥと△ＢＤＥにおいて、
共通な角だから、
∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＤ…➀
直線ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線だから、
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ…②
弧ＣＥに対する円周角は等しいから、
∠ＤＢＥ＝∠ＣＡＥ…③
②、③より、∠ＢＡＥ＝∠ＤＢＥ…④
➀、④より、２組の角がそれぞれ等しいから、
△ＡＢＥ∽△ＢＤＥ

よって、（ⅰ）ウ（ⅱ）カ

（２）難易度：★☆☆☆☆

大問の前半の設問で証明したことは、そのあとの問題で必ず使うと考えていいでしょう。この問題も（１）で証明した相似を使います。

△ＡＢＥ∽△ＢＤＥより、
ＡＥ：ＢＥ＝ＢＥ：ＤＥ
よって、ＤＥ＝\frac{ＢＥ²}{ＡＥ}
ＡＥ＝８ｃｍ、ＢＥ＝７ｃｍだから、
ＤＥ＝\frac{４９}{８} （ｃｍ）

（３）難易度：★★☆☆☆

∠ＢＡＣ＝１２０°で直線ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線だから、
∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＥ ＝６０°
弧ＣＥに対する円周角は等しいから、
∠ＣＢＥ＝∠ＣＡＥ＝６０°…⑤
弧ＢＥに対する円周角は等しいから、
∠ＢＣＥ＝∠ＢＡＥ＝６０° …⑥
⑤、⑥より、２つの角が６０°だから、△ＢＣＥは正三角形である。

点Ｅから辺ＢＣに垂線を下ろし、辺ＢＣとの交点をＨとおくと、点Ｈは辺ＢＣを二等分する。
よってＢＨ＝\frac{７}{２}

△ＢＥＨにおいて、∠ＢＨＥ＝９０°であるから、三平方の定理より、
ＢＨ²＋ＥＨ²＝ＢＥ²

ゆえに
ＥＨ²＝ ＢＥ² －ＢＨ²
　　＝４９ー\frac{４９}{４}
　　＝\frac{１４７}{４}

ＥＨ＝\sqrt{\frac{１４７}{４}}
　　＝\frac{\sqrt{１４７}}{\sqrt{４}}
　　＝\frac{７\sqrt{３}}{２}

よって、
△ＢＣＥ＝\frac{１}{２}×ＢＣ×ＥＨ
　　　　＝\frac{１}{２}×７×\frac{７\sqrt{３}}{２}
　　　　＝\frac{４９\sqrt{３}}{４}

（４）難易度：★★★☆☆

たくさん情報を扱いますので、一つ一つ整理していきましょう。

まず、底面となる四角形ＡＢＥＣの面積を出すために、△ＡＢＣの面積を出すことを目指しましょう。

ＤＡ＝ＡＥ－ＤＥ
　　＝８－\frac{４９}{８}
　　＝\frac{１５}{８}

点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、辺ＢＣとの交点をＩとおきます。

△ＡＩＤと△ＥＨＤにおいて、
∠ＡＩＤ＝∠ＥＨＤ＝９０°…⑦
対頂角は等しいから、
∠ＡＤＩ＝∠ＥＤＨ…⑧
⑦、⑧より、２組の角がそれぞれ等しいから、
△ＡＩＤ∽△ＥＨＤ

よって、ＡＩ：ＡＤ＝ＥＨ：ＥＤ

ＡＩ＝\frac{ＡＤ×ＥＨ}{ＥＤ}
　　＝\frac{１５}{８} ×\frac{７\sqrt{３}}{２}÷ \frac{４９}{８}
　　＝\frac{１５\sqrt{３}}{１４}

△ＡＢＣ
＝\frac{１}{２}×ＢＣ×ＡＩ
＝\frac{１}{２}×７×\frac{１５\sqrt{３}}{１４}
＝\frac{１５\sqrt{３}}{４}

四角形ＡＢＥＣ＝△ＡＢＣ＋△ＢＣＥ
　　　　　　　＝\frac{１５\sqrt{３}}{４}＋\frac{４９\sqrt{３}}{４}
　　　　　　　＝\scriptsize１６\sqrt{３}

また、点Ｏは△ＢＣＥの重心であるから、
線分ＯＥ＝ＨＥ×\frac{２}{３}
　　　　＝\frac{７\sqrt{３}}{３}
これは、円Ｏの半径であり、半球Ｘの半径でもあります。

ゆえに半球Ｘにおいて、
ＰＯ＝\frac{７\sqrt{３}}{３}

四角すいＰーＡＢＥＣの体積は
\frac{１}{３}×\scriptsize１６\sqrt{３}×\frac{７\sqrt{３}}{３}
＝\frac{１１２}{３}

４　２次関数とグラフ

（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）

西宮の家庭教師 かきた

超定番の関数とグラフの問題です。（３）のような三角形の面積を二つに分けたり、面積比を高さの比に変換するテクニックは超頻出ですのでやっておいて損はないです。

（１）難易度：★☆☆☆☆

　ｙ＝\frac{８}{ｘ}　　…①
　ｙ＝ａｘ²　…②

点Ａは①上の点だから、ｙ＝\frac{８}{ｘ}にｘ＝４を代入して、

ｙ＝\frac{８}{４}＝２

よって、点Ａの座標は（４,２）

点Ｂの座標を（ｘ₁,ｙ₁）とすると、原点Ｏが線分ＡＢの中点だから、

\frac{ｘ₁＋４}{２}＝０、 \frac{ｙ₁＋２}{２}＝０

よってｘ₁＝－４、ｙ₁＝－２だから、Ｂ（－４,－２）

（２）難易度：★☆☆☆☆

点Ａ（４,２）は②を通るから、 ｙ＝ａｘ² にｘ＝４、ｙ＝２を代入して、
２＝ａ×４²

ゆえに、ａ＝\frac{２}{１６}＝\frac{１}{８}

（３）難易度：★★☆☆☆

点Ｃからｙ軸に下ろした垂線とｙ軸との交点を点Ｆとします。

△ＯＡＣ
＝△ＯＡＤ＋△ＯＤＣ
＝\frac{１}{２}×ＯＤ×４＋\frac{１}{２}×ＯＤ×ＣＦ
＝\frac{１}{２}×ＯＤ× （４＋ＣＦ）

△ＯＢＤ＝\frac{１}{２}×ＯＤ×４

△ＯＡＣ：△ＯＢＤ＝３：１だから、

\frac{１}{２}×ＯＤ×（４＋ＣＦ）：\frac{１}{２}×ＯＤ×４＝３：１

（４＋ＣＦ）：４＝３：１
ゆえに、ＣＦ＝８

よって、点Ｃのｘ座標は－８

　

　

ａ＝\frac{１}{８}より、②：ｙ＝\frac{１}{８}ｘ

これにｘ＝－８を代入すると、ｙ＝８だから、点Ｃ（－８,８）

ｘの変域－８≦ｘ≦４におけるyの変域は右のグラフより、

０≦ｙ≦８

（４）難易度：★★★☆☆

辺ＡＣの長さは点Ｅの座標とは無関係なので、△ＡＣＥの３辺の長さの和が最小になるのは、ＡＥ＋ＥＣが最小となるときです。

ｘ軸に関し点Ａと対称なる
点Ａ’（４,－２）をとると、

ＡＥ＋ＥＣ＝Ａ’Ｅ＋ＥＣ

右図のように、Ａ’Ｅ＋ＥＣが最小となるのは、３点Ａ’,Ｅ,Ｃが一直線上にあるときである。

直線Ａ’Ｃ：ｙ＝ｂｘ＋ｃとおく。これがＡ’（４,－２）とＣ（－８,８）をとおるから、

　－２＝４ｂ＋ｃ
　　８＝－８ｂ＋ｃ

これを解くと、ｂ＝－\frac{５}{６}、ｃ＝\frac{４}{３}

よって、直線Ａ’Ｃ：ｙ＝－\frac{５}{６}ｘ＋\frac{４}{３}

これとｘ軸の交点を求める。ｙ＝０を代入すると、

０＝－\frac{５}{６}ｘ＋\frac{４}{３}

ｘ＝\frac{４}{３}×\frac{６}{５}
　＝\frac{８}{５}

よってＥのｘ座標は\frac{８}{５}

西宮の家庭教師ダイアログによる過去問解説。今回は兵庫県公立高校入試の過去問です。

５　場合の数と確率

（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）

西宮の家庭教師 かきた

場合の数と確率の問題です。とくにひねった設問もなく、易～標準レベルの問題です。（３）②は（平方数）×（平方数）＝（平方数）を利用すると早く解けますね。

（１） 難易度：★☆☆☆☆

６枚のメダルから、２枚を選ぶ組み合わせと同じなので、

６×５÷２＝１５（通り）

（２）難易度：★☆☆☆☆

６枚それぞれのメダルについて、表裏の２通りが考えられるから、

２⁶＝６４（通り）

（３）難易度：★★☆☆☆

\sqrt{ ａ }が整数となるのは、ａが平方数となるときです。

６枚全部が表のとき、ａ＝１×２×４×６×８×９＝３４５６

これを素因数分解すると、２⁷×３³となります。表が０枚のときを除くとａ＝ 2^x×3^yと表され、ａが平方数となるのはｘとｙが両方とも偶数になるときです。ここまで考えを整理してから問題にとりかかると楽ですね。

➀表が１枚のとき、 １,４,９の３通り。
表が２枚のとき、（１,４）,（１,９）,（４,９）,（２,８）の４通り。

あわせて７通り。

②あえて、表の数の多い方からａが平方数になる場合の数を数えていきます。

６枚全部が表のとき、ａ＝２⁷×３³だから平方数ではありません。

表が５枚のとき、６が裏になればx、yが１つずつ減ります。
つまり、表が（１,２,４,８,９）であれば、
ａ＝１×２×４×８×９＝２⁶×３²で平方数となります。よって１通り。

表が４枚のとき（１,２,４,８,９）の状態から平方数１,４,９のいずれか１枚を裏にすればよいことになります。
よって、（２,４,８,９）,（１,２,８,９）,（１,２,４,８）の３通り。

表が３枚のとき（１,２,４,８,９）から積が平方数となる２数の組（１,４）,（１,９）,（４,９）,（２,８）のいずれかの組を裏にすればよいことになります。
よって（２,８,９）,（２,４,８）,（１,２,８）,（１,４,９）の４通り。

表が０枚のときａ＝０だから平方数となります。よって１通り。

以上より、ａが平方数になるのは、①とあわせて
１＋３＋４＋４＋３＋１＋０＝１６通り。

（２）よりメダルの表裏の出方の総数は６４だから、
求める確率は\frac{１６}{６４}＝\frac{１}{４}

６　星形正ｎ角形

（兵庫県教育委員会の許可を得て掲載しています）

西宮の家庭教師 かきた

「星形正ｎ角形」という聞きなれない図形の規則性を考える問題です。 （４）は「星形正ｎ角形ができる条件」と「星形正ｎ角形の先端の角度のきまり方」の両方を把握しないといけないので、少し難しいかもしれません。

（１）難易度：★★☆☆☆

表を見ると、ｎが奇数のときに、２つおきに結んで星型正ｎ角形ができることが分かります。よって、イ。

（２）難易度：★★☆☆☆

➀：７＝２ｘ：３６０が何を表しているかを考えます。７⇒３６０から、頂点で挟まれた小さな弧の個数の比と中心角の比が等しいことを表しているのだと分かります。中心角２ｘは小さな弧３つ分なので、①＝３。

７×２ｘ＝３×３６０より、７ｘ＝５４０°…②

（３）難易度：★★★☆☆

（２）の比例式は、円周を７等分する点についての立てられています。７をｎに置き換えてみると、中心角２ｘは小さな弧（ｎ－４）個分にあたるので、

ｎー４：ｎ＝２ｘ：３６０
２ｎｘ＝３６０ｎー１４４０
ｎｘ＝１８０ｎー７２０

よって、ｎ個の角の和は（１８０ｎー７２０）°

（４）難易度：★★★☆☆

ｎ等分した点をｋ個おきに結ぶことと（ｎーｋ）個おきに結ぶことは同じです。

たとえば図のように円周を１２等分した点を結ぶ場合、点を５個おきに結ぶことと（１２－５＝）７個おきに結ぶことは同じですね。

円周を２４等分するこの問題において、ｋと２４ーｋは同じ図形が出来上がることになります。よって、この問題では２≦ｋ≦１２とします。

また、ｎ等分した点をｋ個おきに結ぶ場合、ｋとｎに１以外の共通の約数があると、全ての点を通る前に元の点にもどってしまいます。その場合、星形ｎ角形は作れないことになります。

以上より、星形正二十四角形は下表のとおり３種類あることがわかります。

円周を２４等分した点をｋ個おきに結んでできる円周角に対応する中心角の大きさは、
３６０°－３６０°× \frac{２ｋ}{２４}
＝（３６０－３０×ｋ）°

よって、円周角は（３６０－３０×ｋ）°÷２＝（１８０－１５×ｋ）°

これが星形正二十四角形の先端部分の角度にあたるから、ｋが一番大きくなるとき角度は最小となります。よって、ｋ＝１１。

このとき、
（先端部分の角度）＝ （１８０－１５×１１）°＝１５°

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